Решение.

Энергия этой механической системы есть сумма кинетических энергий ее тел:

.

Введем вектор взаимного расстояния шайб:

.

Поместим начало координат в центре инерции, что дает:

.

Из двух последних равенств находим:

Тогда получаем:

Поскольку по условию вектора скорости шайб перпендикулярны, то

.

Тогда получаем выражение для энергии:

,

где – приведенная масса системы.

1.69. Система состоит из двух шариков с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент времени t = 0 шарикам сообщили начальные ско­рости v₁ и v₂, после чего система начала двигаться в поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени полного импульса этой сис­темы р(t) в процессе движения и радиуса-вектора r₀(t), характеризующего положение центра инерции относительно его начального положения.

Решение.

Приращение импульса системы равно:

.

Начальный импульс системы равен:

.

Внешняя сила – это сила тяжести:

Тогда получаем:

.

Для определения радиуса-вектора r₀(t), характеризующего положение центра инерции относительно его начального положения, проинтегрируем полученное выражение по времени, учтя массу системы :

1.70. Замкнутая металлическая цепочка А массы т = 0,36 кг соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины и вращается с постоянной угловой скоростью  = 35 рад/сек. При этом нить составляет угол  = 45⁰ с вертикалью. Пренебрегая массой нити, найти расстояние от центра тяжести цепочки до вертикальной оси, вокруг которой происходит вращение, а также натяжение нити.

Решение.

На цепочку действуют три силы: сила тяжести, сила натяжения нити и центробежная сила.

По 2-му закону Ньютона имеем:

.

Поскольку движение равномерное, то .

В проекции на ось x можно записать:

.

В проекции на ось y можно записать:

Н.

Тогда расстояние от центра тяжести цепочки до вертикальной оси равно:

м.

1.71. Круглый конус А, масса которого m = 3,2 кг в угол полураствора  =10⁰, катится равномерно без скольжения по круглой конической поверхности В так, что его вершина О остается неподвижной. Центр тяжести конуса А находится на одном уровне с точкой О, отстоит от нее на расстояние l = 17 см и движется по окружности с постоянной угловой скоростью . Найти:

а) силу трения покоя, действующую на конус А, если  = 1,0 рад/сек;

б) при каких значениях  движение конуса А будет происходить без скольжения, если коэффициент трения покоя между поверхностями конусов k = 0,25?

Решение.

а) Рассмотрим движение центра масс конуса. На него действуют сила тяжести, центробежная сила инерции и сила трения (которая уравновешивает две предыдущие силы). Спроектируем эти силы на ось конуса:

• сила тяжести:

• центробежная сила инерции:

• сила трения совпадает с осью.

Тогда имеем:

Н.

б) Найдем значение , при котором движение конуса А будет происходить без скольжения. В этом случае сила трения .

1.72. Плот массы М с находящимся на нем человеком массы m неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение со скоростьюи останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти:

а) перемещение плота относительно берега;

б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действует на плот в процессе движения.