Решение.

а) Систему человек-плот можно рассматривать как замкнутую. По закону сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение их центра масс. Применяя это правило к системе человек-плот, можно считать, что во время перемещения человека по плоту центр масс системы не изменит своего положения, т.е. останется на предыдущем расстоянии от берега.

Пусть центр масс системы человек-плот находится на вертикали, которая проходит в начальный момент через точку С₁, а после перемещения плота – через точкуС₂. поскольку эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение плота относительно берега можно определить по перемещению центра масс плота О.

Искомое перемещение равно:

.

Суммарный момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси равен нулю, поэтому для начального положения системы имеем:

.

После перемещения плота имеем:

Подставив полученные значения в формулу для l, получим:

.

Поскольку направления перемещений и, то в векторном виде присутствует знак «-»:

Горизонтальная составляющая силы, с которой человек действует на плот в процессе движения равна:

.

1.74. Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности cтола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Решение.

Импульс тела, падающего с высоты, которая равна длине цепочке, равен:

,

где v₀ = 0 – начальная скорость; – конечная скорость

Для цепочки имеем:

1.75. Летевшая горизонтально пуля массы т попала, застряв, в тело массы М, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l. В результате нити отклонились влево на угол . Считая т<<М, найти:

а) скорость пули перед попаданием в тело;

б) относительную долю  первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.

Решение.

а) По закону сохранения импульса имеем:

,

где u – скорость тела и пули после взаимодействия.

Рассмотрим момент отклонения нитей. На центр масс тела действуют силы тяжести и силы натяжения нитей. Имеем в проекции на вертикальную ось:

,

где – отклонение центра масс от начального положения.

В проекции на горизонтальную ось имеем:

.

Тогда получаем:

Тогда получаем:

.

б) относительная доля  первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло равна:

1.77. При взлете ракета выпускает непрерывную струю газа, вылетающую из сопла со скоростью относительно ракеты. Расход газа равен кг/ceк. Показать, что уравнение движения ракеты имеет вид

где т – масса ракеты в данный момент, – ее ускорение,– внешняя сила (сила тяжести и сила сопротивления воздуха).

Решение.

Пусть в некоторый момент времени t ракета имела массу m и скорость (относительно интересующей нас системы отсчета). Рассмотрим инерциальную систему отсчета, имеющую ту же скорость, что и ракета в данный момент времени. В этой системе отсчета приращение импульса системы «ракета-выброшенная порция газа» за времяdt равно:

.

С другой стороны

.

Тогда получаем:

.

1.78. Ракета движется в отсутствие внешних сил, вы­пуская непрерывную струю газа со скоростью , постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты в момент, когда ее масса равна т, если в начальный момент времени она имела массу т₀ и скорость ее была равна нулю. Воспользоваться формулой, приведенной в предыдущей задаче.