1.60. Гладкий резиновый шнур, длина которого l и ко­эффициент упругости k, подвешен одним концом к точке О. На другом конце имеется упор В. Из точки О начинает свободно падать муфта А массы т. Пренебрегая лассой шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура.

Решение. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии точку, в которой растяжения шнура максимальное. Тогда, в точке Омуфта имела потенциальную энергию

.

В точке В после растяжения шнура на максимальную величину x муфта получила потенциальную энергию силы упругости шнура:

.

По закону сохранения энергии имеем:

Из двух вариантов решения выбираем знак «+», т.к. только в этом случае получаем положительное растяжение шнура. Таким образом, максимальное растяжение шнура равно:

.

1.61. Тело массы т пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. Начальная скорость тела равна v₀, коэффициент трения между телом и плоскостью k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения?

Решение.

По второму закону Ньютона имеем:

.

Спроектируем это уравнение на оси координат, показанные на рисунке:

Сила трения скольжения равна:

F_m = kN; N = mg cos.; F_m = k mg cos..

Тогда из первого уравнения проекций закона Ньютона на оси координат имеем:

–k mg cos. – mg sin.= ma  –k g cos. – g sin.= a.

Считая движение до остановки равнозамедленным, запишем ускорение тела:

.

Тогда получаем выражения для искомого пути, которое пройдет тело до остановки:

.

Работа силы трения на данном пути равна:

1.62. Цепочка ле­жит на столе, свеши­ваясь у его края на  = 1/4 своей длины. Масса цепочки m = 1,00 кг, ее длина l = 1,5 м, коэффициент трения покоя между столом и цепочкой k = 0,20. Действуя на конец А некоторой горизонтальной силой F, свешивающуюся часть цепочки медленно втянули на стол. Какую работу совершила при этом сила F?

Решение.

Сила F совершает работу по преодолению силы трения для участка цепочки, лежащего на столе, и силы тяжестидля участка цепочки, который свешивается вниз. В процессе втягивания участок действия силы трения изменяется от (1 –)l до l, а участок действия силы тяжести изменяется от l до 0. Тогда получаем выражения для работы сил трения и тяжести:

Соответственно работа данной силы F равна полученной работе по модулю и противоположна по знаку, т.е.

Дж.

1.63. Тело массы т бросили под углом  к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время полета, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Решение.

Траекторией движения является парабола. В силу симметрии работа силы тяжести при поднимании тела на максимальную высоту равна по модулю и противоположна по знаку работе силы тяжести при опускании тела, т.е. . Время подъема на максимальную высоту равно времени опускания тела:. Тогда, средняямощность, развиваемая силой тяжести за все время полета, равна:

Мгновенная мощность, которую развивает сила равна:

.

Разложим скорость на составляющие вдоль оси x и вдоль оси y:

.

Поскольку составляющая скорости вдоль оси x перпендикулярна к направлению силы тяжести F = mg, то она не дает вклад в мощность силы тяжести. Поэтому рассматриваем только составляющую скорости вдоль оси оси y.

Имеем выражение для мощности, развиваемую силой тяжести, как функцию времени:

.

1.64. Материальная точка массы т движется по окружности радиусом R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону w_n = at², где а – постоянная Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на эту точку, а также среднее значение этой мощности за первые  сек после начала движения.