Решение.

Мощность всех сил, действующих на эту точку, равна:

.

Работа всех сил равна изменению кинетической энергии точки за первые t сек после начала движения:

.

Из выражения для нормального ускорения получаем:

.

Тогда работа всех сил равна:

.

Зависимость мощности от времени равна:

.

Среднее значение мощности за первые  сек после начала движения равно:

.

1.65. Небольшое тело массы т находится на горизонтальной поверхности в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость v₀. Найти:

а) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения k = 0,27; m = 1,0 кг и v₀ = 1,5 м/с;

б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону k = x, где  – постоянная, х – расстояние от точки О.

Решение.

а) Средняя мощность, развиваемая силой трения за все время движения, равна:

,

где – средняя скорость движения тела от начальной скорости до остановки.

Сила трения направлена против направления движения, поэтому ее проекция на это направления равна:

.

Тогда получаем:

Вт.

б) Мощность силы трения равна:

.

Работа силы трения равна:

Тогда, мгновенная мощность равна:

С другой стороны работы силы трения равна изменению кинетической энергии тела:

Тогда имеем:

Тогда, мгновенная мощность равна:

.

Для нахождения максимальной мощности, исследуем полученное выражение на экстремум:

Подставим полученное значение в выражение для мгновенной мощности:

.

1.66. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ₀ = 5,0 рад/сек движется небольшое тело массы m = 0,10 кг. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела из точки 1 в точку 2, если точки находятся на расстояниях r₁ =30 см и r₂ = 50 см от оси вращения?

Решение.

Центробежная сила инерции направлена к центру вращения. Ее работа при перемещении тела из точки 1 в точку 2, расположенных на разных расстояниях от центра вращения, равна изменению кинетической энергии тела:

.

Связь между линейной и угловой скоростями дается соотношением:

.

Тогда работа центробежной силы инерции равна:

Дж.

1.67. К_с - система отсчета, в которой покоится центр инерции механической системы взаимодействующих материальных точек, движется поступательно со скоростью V относительно инерциальной К-системы отсчета. Масса механической системы равна m, ее полная энергия в К_с- системе отсчета Е_с. Найти полную энергию Е данной механической системы в К-системе отсчета.

Решение.

Энергия системы взаимодействующих материальных точек в К-системе отсчета равна сумме кинетических энергий всех точек, входящих в систему:

Скорость точки в К-системе отс+чета равна:

v_k = V + v_{k c},

где v_{k c} – скорость точки в К_с-системе отсчета

Тогда получаем:

.

Выражение равно массе всей системы; выражениеравно энергии механической системы вК_с- системе отсчета; , гдеV_С – скорость центра инерции системы в К_с- системе отсчета. Тогда получаем:

.

Поскольку в К_с- системе отсчета центр масс системы покоится, то V_С = 0. Тогда получаем полную энергию Е данной механической системы в К-системе отсчета:

.

1.68. На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой пружинкой. В некоторый момент времени шайбам сообщили начальные скорости v₁ и v₂. Оба вектора взаимно перпендикулярны, лежат в горизонтальной плоскости и один из них совпадает по направлению с прямой, проходящей через центры шайб. Пренебрегая массой пружинки, найти полную энергию этой механической системы в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с ее центром инерции.