СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Лекция 1 Тригонометрическая система на отрезке

•Пространство функций L2 [-π, π]. Ортогональность системы функций. Полнота системы. Ортогональность проверяется непосредственно, а полнота следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации любой непрерывной периодической функции тригонометрическими многочленами

•Тригонометрическая система 1,cos nx,sin nx ,… n=1,2,3,4,… образует полную ортогональную систему в этом пространстве.

•Вопросами приближения функций тригонометрическим функциями занимались еще с 1740 г. Бернулли , Даламбер, Лагранж; Эйлер. Фурье в 1811 г. выразил уверенность в возможности такого представления, а в его книге 1822 г привел множество примеров примения разложения в тригонометрический ряд.

• Ряд Фурье сходится в метрике L2 [-π, π].

•Ортогональные системы на отрезке [0, π], [a,b], [0,1]

Лекция 2. Виды сходимости и условия сходимости ряда Фурье.

•Рассмотрим различные виды сходимости, в которых исследуется сходимость ряда Фурье. Практически важными являются условия сходимости ряда Фурье в точке и в других метриках:

–Суммируем по Чезаро в среднем

-сходимость в метрике Lp

-равномерно суммируем по Чезаро.

-слабая сходимость.

Условие поточечной сходимости дается теоремой:

Если f –суммируемая функция и при фиксированном x и некотором

существует (условие Дини), то частичные суммы ряда Фурье функции сходятся в этой точке x к f (х).

• Более общая формулировка:

Пусть f –ограниченная функция с периодом 2π, имеющая разрывы лишь первого рода и пусть f имеет в каждой точке левую и правую производные. Тогда ее ряд Фурье сходится всюду, а его сумма равна f(x) в точках непрерывности и равна

½( f (х+0) + f (х-0)) в точках разрыва.

Имеет место равенство Парсеваля - для ортонормированной системы, а для ненормированной системы выполнено

неравенство Бесселя

Лекция 3. Ортогональные системы на отрезке и числовой прямой

Существует множество ортогональных систем функций, заданных на отрезке и числовой прямой. Наиболее широко применяются следующие их виды:

1.Тригонометрическая система

2.Многочлены Лежандра. Они получаются ортогонализацией

одночленов xn на отрезке [-1,1]

3. Функции Эрмита - произведения многочленов Эрмита на собственные функции преобразования Фурье.

Образуют ортогональную систему на всей числовой прямой. Многочлены Эрмита являются решениями обыкновенного дифференциального уравнения:

d 2 f x 2 f dx 2

Полиномиальные решения этого уравнения существуют при μ = -(2n+1), n=0,1,2,3,… С точностью до постоянного сомножителя полиномы Эрмита совпадают с совпадают с выражениями

Лекция 4. Спектр сигнала. Качество восстановления сигнала.

Эффект Гиббса

Для периодической функции представление в виде ряда Фурье определяет спектр сигнала. Скорость сходимости ряда определяется дифференциальными свойствами исходной функции. Чтобы продемонстрировать данный факт, следует опираться на следуающие теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании рядов.

Почленный переход к пределу

Рассматриваем функциональный ряд

(1)

Теорема1. Пусть каждая из функций un(x) (n=1,2,3,…) определена в области X и имеет при стремленииx x к а конечный предел:

сходится в этом промежутке равномерно, то сумма ряда также будет интегрируема и интеграл от суммы ряда представляется следующим образом:

Почленное дифференцирование рядов

Теорема. Пусть функции un(x) (n=1,2,3,…) определены в промежутке Χ=[a,b] и имеют в нем конечные производные u΄ n(x). Если ряд (1) сходится хоть в одной точке, а ряд, составленный из производных

равномерно сходится на всем промежутке Х, то тогда ряд (1) сходится равномерно на всем промежутке и его сумма имеет в Х производную, выражаемую равенством вида:

Лекция 5. Дискретное преобразование Фурье.

Впрактических приложениях чаще всего приходится сталкиваться

сразличными дискретно заданными функциями, к которым также возможно применить аппарат Фурье анализа в его дискретной версии.

Дискретное преобразование Фурье

Рассмотрим преобразование Фурье на множестве сеточных функций Пусть f(x) – заданная непрерывная функция, определенная на отрезке [0,l]. fq , q= 0,1,…,N-1, x0=0, xN=l.

Периодически продолжим функцию f(x) на всю числовую ось, тогда f(l)=f(0), определим точки сетки xq=qh=ql/N.

Получим сеточный аналог разложения Фурье.

В силу разложения Фурье для периодической функции в точках сетки

Преобразуем эту сумму. Пусть n=Np+r,

r=0,…N-1. Тогда сумма может быть представлена в виде:

то , таким образом отсюда вытекает формула обращения:

Из доказательства попутно следует также что