1.4. Прогнозирование

Пусть получены оценки параметров уравнения (1.11). Задача прогнозирования заключается в определении возможного значения (прогноза) переменной x, объясняемой этой моделью, при некоторых заданных значениях факторов z, которые не совпадают ни с одним из наблюдений в матрице Z. Более того, как правило, z лежит вне области, представляемой матрицей Z. При этом предполагается, что гипотезы g1−g3 по-прежнему выполняются.

Обычно термин «прогнозирование» используется в случае, когда наблюдения i = 1, ..., N в матрице Z даны по последовательным моментам (периодам) времени, и заданные значения факторов z, для которых требуется определить прогноз x, относятся к какому-то будущему моменту времени, большему N (т.е. z лежит вне области, представляемой матрицей Z).

Методы прогнозирования могут быть различными. Если применяются относительно простые статистические методы, как в данном случае, то часто используют термин «экстраполирование». Если аналогичная задача решается для z, лежащих внутри области, представляемой наблюдениями в матрице Z (например, для «пропущенных» по каким-то причинам наблюдений), то используют термин «интерполирование». Процедуры экстраполирования и интерполирования с использованием модели (1.11) с формальной точки зрения одинаковы.

Итак, задан некоторый который отличается от всехz_i,

=1,…,N(если i — обозначает момент времени r>N),

x_r = z_rα + ε_r — истинное значение искомой величины,

x⁰_r = z_rα — ожидаемое значение,

x^p_r = z_ra — искомый (точечный) прогноз.

Предполагаем, что гипотезы g1−g4 выполнены как для i = 1, ..., N, так и для

_{r > N}.

Это линейный (относительно случайных величин X) прогноз: он не смещен относительно ожидаемого значения вслед за несмещенностьюa:

E(x^p_r) = x⁰_r. Его ошибка ε^p_r = x_r − x^p_r имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию

, (1.63)

которая минимальна на множестве всех возможных линейных несмещенных прогнозов.

Действительно:

ε^p_r = z_r (α − a) + ε_r.

Поскольку случайные величины a и ε_r не зависят друг от друга,

. Эта дисперсия минимальна среди всех возможных дисперсий линейных несмещенных прогнозов вслед за аналогичным свойством оценок a. Это является прямым следствием того, что оценки МНК относятся к классу BLUE. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно в доказательстве данного свойства оценок a, которое приведено в п. 1.2, заменить c’ на z_r. Следует иметь в виду, что ошибка любого расчетного по модели значения x^c_i, являясь формально такой же: ε^c_i = x_i − x^c_i, имеет также нулевое математическое ожидание, но принципиально другую, существенно меньшую, дисперсию:

σ_i² = σ² (1 − z_i 0Z!Z1−¹ z_i!).

Видно, что эта дисперсия даже меньше остаточной.

Действительно, как и прежде: ε^c_i := z_i (α − a) + ε_i. Но теперь случайные величины a и ε_i коррелированы и поэтому

Величины 1−zⁱ (Z^"Z)⁻1 _z^i" (i = 1, ..., N),естественно,неотрицательны,

поскольку они являются диагональными элементами матрицы B из (1.32), которая положительно полуопределена.

Структуру дисперсии ошибки прогноза (1.63) можно пояснить на примере

n = 1. В этом случае (используются обозначения исходной формы уравнения регрессии, и все z — одномерные величины):

. (1.64)

В этом легко убедиться, если перейти к обозначениям исходной формы уравнения регрессии, подставить в (1.63) вместо z_r и Z, соответственно и сделать необходимые реобразования (правило обращения матрицы

(2 × 2) см. в Приложении A.1.2), учитывая, что

:

Что и требовалось доказать.

Это выражение показывает «вклады» в дисперсию ошибки прогноза собственно остаточной дисперсии, ошибки оценки свободного члена и ошибки оценки углового коэффициента. Первыедве составляющие постоянны и независят от горизонта прогнозирования, т.е. от того, насколько сильно условия прогноза (в частности, значение z_r) отличаются от условий, в которых построена модель (в частности, значение z¯). Третья составляющая — ошибка оценки углового коэффициента — определяет расширяющийся конус ошибки прогноза.

Мы рассмотрели точечный прогноз. Если дополнительно к гипотезам g1−g4 предположить выполнение гипотезы g5 для _i = 1_{, ..., N} и для _{r > N}, то можно построить также интервальный прогноз. По формуле (1.27) ошибка прогноза имеет вид:

ε^p_r = z_r(α − a) + ε_r = z_rLε + ε_r.

Таким образом, она имеет нормальное распределение:

Если бы дисперсия ошибки σ² была известна, то на основе того, что

,

для x_r можно было бы построить: (1 − θ)100-процентный прогнозный интервал:

Вместо неизвестной дисперсии берется несмещенная оценка.

По аналогии с (1.44) можно вывести, что

.

Тогда в приведенной формуле прогнозного интервала необходимо заменить