Дин. системы / 6.3

6.3. Сызықты стационарлы жүйе үшін Ляпунов функциясы. Бірінші ретті жуық теңдеулер арқылы орнықтылықты зерттеу

- сызықты стационарлы динамикалық жүйе болсын, оның қозғалыс теңдеуін матрицалық формада жазайық:

мұндағы А – матрицасы, х – n-өлшемді вектор-бағана.

Комплекті сандардың өрісіне көшу бұл базисте А матрицасы канондық жордан формасына ие болатындай кеңістігінде базисті таңдауға мүмкіндік береді.

Жеке жағдайда А матрицасының сипаттамалық көпмүшесінің барлық түбірлері өзара жай болғанда (яғни олардң арасында еселіктер жоқ), А матрицасының канондық жордан формасы диагональ түрінде болады: , азғындалмаған матрицасы бар болады, егер деп орындарына қойсақ, онда онда у жаңа айнымалыларына қатысты (6.8) қозғалыс теңдеулері келесі түрде жазылады:

мұндағы - А матрицасының канондық формасы. – диагональді болғасын, онда (6.9) матрицалық теңдеуі 1-ші ретті n тәуелсіз теңдеулер жүйесіне эквивалентті болады:

Бұл жүйе үшін Ляпунов функциясын құрастырмас бұрын, келесі ескерту жасап кетейік. Жүйенің қозғалысы дифференциалды теңдеуімен сипатталсын, ол келесі екі теңдеуге жіктелсін:

Сөйтіп, х векторы Y және Z векторлық кеңістігінің тікелей қосындысының элементі болып табылады: Мұндай векторды координатты формада келесі түрде жазға болады:

Теорема 1. (Бірінші ретті жуық теңдеулер арқылы орнықтылықты зерттеу). Егер сызықты емес жүйенің қозғалысы оң жағы үздіксіз дифференциалданатын дифференциалдық теңдеуімен сипатталса, онда келесі шарттар дұрыс болады:

1. тепе-теңдік күйінің асимптотикалық тұрақтылығы үшін А матрицасының сипаттамалық көпмүшесінің барлық түбірлері теріс айғақт жақтары болғаны жеткілікті.

2. Егер бұл сипаттамалық көпмүшесінің түбірлерінің арасында айғақты жақтары оң болатындай түбірлері бар болса, онда тепе-теңдік күйі тұрақты емес болады.