Дин. системы / 13.1 - 13.2

13.1. Тұйық көпмүшелікті кеңістік

Анықтама 1. E метрикалық кеңістігінің X және Y екі тұйықталған жиындарының хаусдорфты ауытқуы деп теріс емес санын айтады, мұндағы – z нүктесімен жиыны арасындағы арақашықтық. Хаусдорфты ауытқулармен қоса E кеністігінің барлық тұйықталған жиыншаларының жиыншалары – E үстіндегі тұйықталған жүйелердің кеңістігі деп аталып, F (E) деп белгіленеді.

Теорема 1. Егер Е – толық метрикалық кеңістік болса, онда F (E) – толық кеңістік. Хаусдорфты ауытқулары бойынша F (E)–дегі жиындардың кез-келген фундаменталды реттілігінің шегі Е кеңістігіндегі осы реттіліктің теориялық-жиындық шегінің тұйықталуымен сәйкес келеді, оның бар болуы оның фундаменталдығына эквивалентті.

Теорема 2. Е компакттағы F (E) кеңістігі ықшамды.

Егер - Е компакттағы ақырлы ε-желі, ал – желі элементтерінің тұйықталған ε-маңайлардың жүйесі болса, онда элементтерінің барлық қосындыларының ақырлы жүйесі F (E) үшін 2ε-желісі болып табылады. Расында, кез-келген үшін жиыны элементі болып табылады, және Х-тен көп дегенде 2ε ауытқиды, егер деп алсақ. Сәйкесінше, х нүктесі тұйық ε-маңайының орталығы болады. Сөйтіп, кез-келген үшін F (E)–нің ақырлы ε-желісі бар, сонымен қатар, 1-ші теоремаға сәйкес толық, сәйкесінше, ықшамды болып табылады.

Анықтама 2. жиындарының жүйесін F (E) кеңістік құрайтын тұйықталған жиындарының жүйесі деп атайық, егер кез-келген жиыны түрінде дара түрде берілсе, мұндағы .

13.2. Тұйық көпмүшелікті кеңістіктегі динамикалық жүйелер

Е – толық локальді-ықшамды топологиялық кеңістік болсын, ал F (E) - E үстіндегі тұйықталған жүйелердің кеңістігі.

Анықтама 1. E үстіндегі F-жүйесін динамикалық жүйесін атайық, оның күйлер кеңістігі E үстіндегі тұйықталған жүйелердің кеңістігі болып табылады. Қайтымсыз F-жүйесі - D-жүйесі (Барбашиннің дисперсті жүйесі) деп аталады, егер кез-келген үшін болса.

Теорема 1. Егер және – Е кеңістігінде берілген динамикалық жүйелер, ал – F (E) кеңістігін құрайтын жүйе болса, онда қатынасымен берілетін бейнесі, мұндағы - F (E) -дегі қозғалыс болып табылады. Егер соның өзінде v және – үздіксіз қозғалыстар болса, онда , сондай-ақ, үздіксіз.

сондықтан да бастапқы шарттардың ережесін қолданған дұрыс болады. Біріне-бірі беру принципі келесі теңдіктерден шығады:

Үздіксіздік – топологиялық векторлық кеңістіктердегі қосу операциясының үздіксіздігенен шығады. Соңында, бейнесі кез-келген тұйық жиын үшін F (E) барлық нүктелерінде берілген болады, яғни кез-келген тұйықталған жиыны үшін , өйткені үздіксіз бейнелеу кезінде тұйықталған жиынның түп бейнесі – тұйықталған жиын болып табылады.

Теорема 2. қатынасымен берілетін бейнесі еркін динамикалық жүйенің қозғалысы жөніндегі аксиомаларды қанағаттандырады.

Бастапқы шарттардың және үздіксіздік шартының ережесі және қозғалыстары үшін қасиеттерінің дұрыстығынан, және топологиялық векторлық кеңістіктердегі қосу операциясының үздіксіздігенен шығады. Сонымен қатар, құрылымы бойынша , ал және үшін біріне-бірі беру ережесі жеке дұрыс болғандықтан, онда , бұл біріне-бірі беру принципін дәлелдейді.