Дин. системы / 2.2

2.2. Метрика көмегімен топологияны беру

Анықтама 1. Е-дегі әр жұп элементтерге сәйкес қойылатын бірмағыналы бейнелеуі арақашықтық деп аталады, реттелген жұбы – метрикалық кеңістік, ал Е элементтері - метрикалық кеңістіктің нүктелері деп аталады, егер келеі қасиеттер дұрыс болса (метрикалық кеңістіктің аксиомалары):

1. (қайшылық емес);

2. (симметриялық);

3. (үшбұрыштың теңсіздігі);

4. (рефлексивтілік).

Анықтама 2. - метрикалық кеңістік болсын; X, Y – E-нің жиыншалары; z – E-нің нүктесі. z нүктесі мен X жиыны арасындағы арақашықтық санымен беріледі; X жиынының диаметрі саны деп аталады; X, Y жиындары арасындағы арақашықтық саны деп аталады. Диаметрі тең емес жиын шектелген жиын деп аталады.

Анықтама 3. жиыны x нүктесінің –маңайы деп аталады (ашық - маңайы). Егер болатындай, табылса , U жиыны x нүктесінің маңайы деп аталады,

Топологиялық кеңістік метризияланатын деп аталады, егер Е элементтерінің арасында тудырылған метрикалық топология –мен сәйкес келсе, онда арақашықтығын енгіздіруге болады.

Метрикалық кеңістіктер үшін х нүктесі Х жанасу нүктесі деп аталады, егер . х нүктесі – Х ішкі нүктесі, егер . х нүктесі – Х шекаралық нүктесі, егер .

Теорема 1. Метрикалық кеңістіктердің есептік сандарының топологиялық көбейтіндісі метриязаланады.

- метрикалық кеңістіктердің есептік сандары болсын, олардың топологияларын , ал Е деп белгілейміз. Кез-келген екі нүкте үшін және деп аламыз.

Теорема 2. Әрбір метризияланатын топологиялық кеңістік дұрыс.

- метрикалық кеңістігінің тұйық жиыншалары болсын. А және В барлық жанасу нүктелерінен тұратын болғандықтан, онда кез-келген х нүктесі үшін: . және жиындары А және В жиындарының қиылыспайтын ашық маңайлары болып табылады: