- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
Глава 8
Взаимная синхронизация двух
взаимодействующих
периодических
осцилляторов
В этой главе мы рассматриваем эффект синхронизации двух автоколебательных систем за счет их взаимодействия. Этот случай является промежуточным по сравнению с рассмотренным в главе 7, когда один осциллятор подвержен внешнему периодическому воздействию, и случаем многих взаимодействующих осцилляторов, который будет рассматриваться ниже в главах 11 и 12. Действительно, случай периодической внешней силы может рассматриваться как частный случай взаимодействия двух осцилляторов при однонаправленной связи. Два осциллятора образуют элементарный блок, который используется при описании случая многих (более, чем двух) взаимосвязанных систем. Проблема может быть сформулирована следующим образом: есть две нелинейные системы, демонстрирующие периодические автоколебания, в общем случае с различными амплитудами и частотами. Эти системы взаимодействуют, и интенсивность взаимодействия есть основной параметр. Нас интересует динамика связанной системы, главным образом захват фаз и частот.
В разделе 8.1 мы развиваем метод фазовой динамики, который справедлив в случае малой связи - в этом случае задача сводится к связанным уравнениям, в которые входят только фазы. Другое приближение используется в разделе 8.2, где обсуждается динамика спа-бонелинейных осцилляторов. Наконец, в разделе 8.3 мы описываем
8.1 Фазовая динамика
Еспи связь между двумя автоколебательными системами мала, то, следуя работам Малкина [1956] и Курамото [Kuramoto 1984], можно вывести замкнутые уравнения для фаз. Этот подход по сути совпадает с использованным в разделе 7.1; здесь мы используем многие изложенные там идеи. Наша основная модель - это система двух связанных осцилляторов
dt
rfx<2> dt
(8.1)
f(2)(x(2))+£pW(x(2),x«).
Отметим, что мы не предполагаем какой-либо схожести осцилляторов: они могут быть различной природы и иметь различную размерность. Связь может быть асимметричной. Мы предполагаем только, что автономная динамика (определяемая функциями fW>(2)) может быть отделена от взаимодействия (описываемого в общем случае различными членами р^1)^2)), пропорционального параметру связи е. Это предположение мотивировано физической формулировкой проблемы: есть два независимых осциллятора, которые могут функционировать раздельно, но могут и взаимодействовать. Таким образом, мы исключаем ситуацию, когда две колебательные моды наблюдаются в сложной системе, которая не может быть разделена на две составляющие.1 Другой случай, не учитываемый системой (8.1), -это случай более сложной связи, требующей для своего описания дополнительных динамических переменных.2
При стремлении параметра связи е к нулю в каждой системе имеется устойчивый предельный цикл, автономные частоты колебаний
1 Тем не менее, в некоторых системах высокой размерности (например, в лазерах) возможна генерация двух независимых автоколебательных мод, которые можно рассматривать в рамках модели (8.1)
2 В электронике это различие соответствует разнице между резистивной связью (нет дополнительных уравнений) и реактивной — емкостной или индуктивной — связью (необходимы дополнительные уравнения). Один такой пример будет рассмотрен в разделе 12.3.
систем равны од и о>2- Тогда, как описано в разделе 7.1, мы можем определить две фазы на циклах и в окрестностях3 (ср. с уравнением (7.3)),
с1ф\
т (8.2)
#2
В общем случае, частоты 0/1,0/2 находятся в иррациональном соотношении, и, следовательно, движение в системе несвязанных осцилляторов квазипериодическое.
В первом приближении мы можем написать уравнения для фаз связанных систем аналогично уравнению (7.14):
ах к дЧ
Предполагая, что при малой связи возмущения амплитуд малы, подставим в правую часть значения переменных х^ух^ на циклах, где каждая из этих переменных есть некая функция от соответствующей фазы. Таким образом, мы получаем замкнутую систему уравнений для фаз
= 0/1 + е(2і(ф]_,ф2).. dt (8.4)
—^- = о/2 + eQ2{$2, Фі);
с 27г-периодическими (по обоим аргументам) функциями Qi,2-
Возможность записать замкнутые уравнения для фазовых переменных означает, что в многомерном фазовом пространстве переменных (х^.х^) существует двумерная инвариантная поверхность, параметризованная фазами ф\,фі- Более того, эта поверхность - тор, так как сдвиг любой из фаз на 27г дает ту же самую точку в фазовом пространстве. Этот двумерный тор есть полный аналог инвариантного тора неавтономной системы, описанного в разделе 7.3. Есть две возможности характеризовать динамику на инвариантном торе.
3 По сравнению с разделом 7.1 мы опускаем нижний индекс «О» при обозначении автономных частот; вместо этого мы используем нижний индекс, соответствующий номеру осциллятора.
Первая состоит в использовании малости параметра е и усреднении уравнения (8.4). Второй подход основан на конструировании отображения окружности.
8.1.1 Усредненные фазовые уравнения
27г-периодические функции Qii2 в уравнениях (8.4) могут быть представлены в виде двойного ряда Фурье
Яі(ФъФ2) = £а^е^1+^2, Я2(ф2,фі) = £а'Л''**1+"*2 k,l k,l
В нулевом приближении фазы вращаются равномерно с невозмущенными (автономными) частотами
Фі = Wit, ф2 = W2t;
и в функциях <3i,2 все слагаемые соответствуют быстрым вращениям, кроме членов, удовлетворяющих резонансному условию
kwi + 1ш2 и 0.
Предположим, что автономные частоты u>ii2 находятся почти в резонансе:
и>і т ш2 п '
Тогда все члены ряда Фурье с индексами к = nj, I = —mj являются резонансными и вносят вклад в усредненные уравнения. В результате мы получаем
— = ші + eqi(n4i - тф2),
М (8.5)
—— = ш2 + ед2(тф2 - пфі). at
где
ді(7гфі - тф2) = YJJ a"i-mJеіЛпФі-т<һ)ш_
с12(тф2 - пфі) = Ej ap'-^e'X"1**-^).
Для разности фаз 'ф = пф\ — тф2 двух осцилляторов мы получаем из (8.5)
^ = -„ + гд(-ф), (8.6)
v = ти)2 — вид.
а(Ф) = Щі{Ф) - тд2(-ф).
(8.7)
Отметим, что уравнение (8.6) имеет точно такой же вид, как уравнение (7.24) раздела 7.1.6, и нам не надо повторять его анализ. В случае синхронизации уравнение (8.6) имеет устойчивое состояние равновесия фо и наблюдаемые частоты колебаний равны
Ql m fi2 п
Рассмотрим более подробно простейший ступай резонанса 1:1, т.е. случай, когда автономные частоты осцилляторов почти совпадают: ид и и>2- Тогда в вышеприведенных формулах т = п = 1. Далее, предположим, что связь симметрична, т.е. ді(ф) = Я2(Ф)] тогда, в соответствии с (8.7), получим антисимметричную функцию связи в (8.6), д(ф) = —д(-'ф). Простейшая и наиболее естественная антисимметричная 27г-периодическая функция есть синус, и соответствующая модель взаимодействия двух осцилляторов выглядит как
v + еыпф.
В зависимости от знака е возможны два случая - притягивающее или отталкивающее взаимодействие.4 Если е < 0, то устойчивое состояние разности фаз 'ф лежит в интервале ^тт/2 < ф < тт/2, и, в частности, при нулевой расстройке v устойчивое значение разности фаз равно нулю. Можно сказать, что фазы «притягиваются» друг к другу. Если е > 0, то устойчивое значение разности фаз лежит в интервале тт/2 < ф < Зтт/2, и для совпадающих автономных частот равно 7г; это случай «отталкивания». Эти два типа синхронного движения называют синфазным («іп-phase») и противофазным («anti-phase» или «out-of-phase») режимам.5 Примечательно, что количественные характеристики синхронизации (в частности, ширина области синхронизации) одинаковы для обоих случаев. Стоит
4 Или же, что эквивалентно, можно сказать, что t положительно, но функция связи меняет знак, sin?/) —¥ — sin?/).
5 Напомним читателю, что Гюйгенс в своем первом наблюдении явления синхронизации обнаружил именно противофазный режим синхронизации маятниковых часов.
(1 2)
переменными хк ' (см. примеры в [Han et al. 1995, 1997; Postnov et al. 1999a]).
В усредненном описании синхронизация возникает как идеальный захват фаз: существование устойчивой особой точки i/jq в уравнении (8.8) означает не только то, что осцилляторы имеют одинаковые частоты, но и постоянство фазового сдвига, ф\ = фі + i/jq. Последнее свойство не выполняется, если мы рассматриваем полную систему (8.4): за счет нерезонансных членов фазы не захвачены идеально, а осциллируют вокруг траектории усредненной системы (8.5). Эти осцилляции могут быть особенно велики, еспи колебания близки к релаксационным, т.е., если функция связи Qi,2 содержит много гармоник.
8.1.2 Отображение окружности
Правая часть уравнений (8.4) 27г-периодична по обеим переменным; следовательно поток на двумерной фазовой плоскости (Ф1.Ф2) эквивалентен потоку на двумерном торе 0 < ф\ < 2тт, О < фі < 2тт. Этот двухмерный поток может быть сведен к обратимому отображению окружности.
Выберем прямую фі = О в качестве секущей. Выпуская траекторию из <^і(0), Ф2Ф) = 0 и следуя вдоль нее до точки ф\{і), ф2{і) = 2тх. получим отображение фі(0) —>• фі(і). Вводя дискретное время п. запишем отображение в виде
фі(п+ 1) = фі(п) + 2тг—.
Ш2
Фактически, мы используем здесь малость взаимодействия: поток на торе не произволен, а близок к вращениям по обеим координатам. Это обеспечивает как отсутствие состояний равновесия, так и замкнутых траекторий, не охватывающих тор, и, следовательно, существование отображения Пуанкаре.
Для отображения окружности (8.9) можно определить чисто вращения р в соответствии с уравнением (7.52), что дает отношение двух наблюдаемых частот
Отметим, что возможен эквивалентный способ получения отображения окружности: можно выбрать в качестве секущей ф\ = 0 и получить отображение ф2 —>• Ғ{ф2)\ новое число вращения будет обратно старому.
Вся теория отображения окружности (раздел 7.3) может быть применена к данному случаю. В частности, выход из синхронизации происходит через бифуркацию седло-узел, как описано в разделах 7.1 и 7.3.