5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров

Чтобы описать этот эффект, возьмем две идентичные хаотические системы (например, две системы Лоренца) и введем связь, которая

' Возможно, использование другого термина вместо «синхронизация» было бы более уместным; мы все же будем следовать принятой в литературе терминологии, добавляя для определенности прилагательное «полная».

стремилась бы сделать переменные одинаковыми. Будем использо­вать индексы 1,2 для идентификации систем; притягивающее взаи­модействие стремится уменьшить разности Ж2І, |уі^_У2І ^и |~і^~2І-Далее, мы потребуем, чтобы связь была пропорциональна разности состояний осцилляторов (т.е. пропорциональна х\—Х2, У\—уъ z\ — Z2) и обнулялась бы, если эти состояния совпадают, х\ = 3¾, и т.д. Тогда при полном совпадении переменных каждая система не будет чувствовать другую, и будет совершать хаотические колебания, как будто они не связаны. Поскольку системы идентичны, совпадение со­стояний со временем сохраняется. Этот режим и называется полной синхронизацией: состояния двух систем совпадают и хаотически эволюционируют во времени.

Очевидно, что полностью синхронное состояние может быть ре­ализовано при любой интенсивности связи, но только при сильной связи можно ожидать, что оно будет устойчивым. В самом деле, предположим, что мы слегка возмутили полностью идентичное со­стояние, т.е. положим х\ ф 3¾ и т.д. Что произойдет с малой разно­стью Х2 — х.\! Если бы не было связи, ответ следовал бы из свойства неустойчивости хаоса: поскольку два состояния x\,yi,z\ и Ж2,2/2;~2 можно рассматривать (из-за идентичности) как две начальные точки в одной системе, они будут расходиться экспоненциально по времени, причем скорость роста определяется максимальным ляпуновским по­казателем. При малой связи расходимость будет слабее, из-за «при­тяжения» двух состояний. При достаточно сильной связи притяже­ние преобладает и малое различие будет затухать, так что в конце концов устанавливается полностью синхронное состояние.

Мы видим, что полная синхронизация - пороговое явление: она на­блюдается, только если связь превышает критическое значение, про­порциональное ляпуновскому показателю отдельной системы. Ниже порога состояния систем близки, но все же различаются. Выше поро­га они идентичны и хаотически меняются со временем. Этот переход показан для двух связанных систем Лоренца на рис. 5.11 и 5.12.

Roy and Thornburg [1994] экспериментально наблюдали синхрони­зацию хаотических колебаний интенсивности двух NcbYAG лазеров с модуляцией накачки. Связь осуществлялась перекрытием электро­магнитных полей внутри резонатора; она могла изменяться в ходе эксперимента. При сильной связи интенсивности были идентичны и продолжали изменяться хаотически (рис. 5.13).

5.3.2 Синхронизация неидентичных систем

Рассмотренное выше явление полной синхронизации не может быть, строго говоря, непосредственно обобщено на случай связанных неидентичных систем. Ясно, что теперь состояния не могут в точно­сти совпадать, но они могут быть довольно близкими друг к другу. В частности, при достаточно большой связи может существовать функциональная зависимость хг = Ғ(хі) между состояниями двух систем. Это означает, что, зная функции Ғ, можно однозначно пред­сказать состояние второй системы, если известно состояние первой. Этот режим называют обобщенной синхронизацией [Rulkov et al. 1995]. Полная синхронизация - это частный случай обобщенной, ко­гда функции F - это просто идентичные функции. Обычно обобщен­ная синхронизация наблюдается при однонаправленной связи, когда

20

20

одна система (вынуждающая) действует на другую (вынуждаемую), но обратного воздействия нет. Такую ситуацию называют также связью типа «управление-подчинение» (master-slave). Установление обобщенной синхронизации можно интерпретировать как подавле­ние собственной динамики вынуждаемой системы воздействием со стороны другой, так что она «подчиняется управлению».

5.3.3 Полная синхронизация в общем контексте. Пример: синхронизация и кластеры в глобально связанных электрохимических осцилляторах

Ряд обобщений описанного выше явления представляются особенно интересными. Одно обобщение основано на наблюдении, что переход к синхронизации можно рассматривать как установление симметрич-

ного режима в системе, обладающей соответствующей симметрией. Действительно, требуя чтобы идентичные системы взаимодейство­вали так, чтобы связь обнулялась при совпадении переменных, мы практически накладываем определенные условия симметрии.

Поэтому можно рассмотреть и более общий случай, когда в боль­шой хаотической системе есть некоторая внутренняя симметрия, на­пример, уравнения движения не меняются при перестановке некото­рых переменных (скажем, в четырехмерной системе с переменными XjDjZjV перестановка z <Н> v систему не меняет). Тогда режим, в котором эти переменные совпадают (в нашем примере z = v), есть решение, возможно и хаотическое. Если соответствующее малое воз­мущение z — v затухает со временем, то симметричное решение будет устойчивым, и можно сказать, что подсистемы z и v синхронизова­ны [Pecora and Carroll 1990]. Такая синхронизация в хаосе иногда тоже называется «управление-подчинение», мы будем чаще говорить о синхронизации системы и ее копии, поскольку обычно уравнение для v получается просто копированием уравнения для z. Отметим, что в этой ситуации нет двух систем, которые могли бы функцио­нировать раздельно или быть связанными. Вместо этого, некоторые переменные внутри одной большой системы могут совпадать, внося частичный порядок в хаос.

Общая симметрия, делающая возможной полную синхронизацию, может возникать при большом числе взаимодействующих хаотиче­ских систем. Wang et al. [2000а] экспериментально изучали синхрони­зацию 64 электрохимических осцилляторов. Глобальная связь осуще­ствлялась путем соединения всех электродов через общую нагрузку: это эквивалентно схеме, показанной на рис. 4.25. Экспериментаторы

постарались сделать элементы ансамбля как можно более близкими. Фазовый портрет одного изолированного осциллятора показан на рис. 5.14а. Если несвязанные элементы наблюдать в какой-то мо­мент времени, то их состояния будут различны (рис. 5.14Ь). Они распределены по фазовому пространству так же, как траектория одной системы. Если ввести достаточно большую связь и сделать «снимок» системы в какой-то момент времени, то фазовые точки, описывающие системы, образуют маленькое облачко, почти точку (рис. 5.14с), что свидетельствует о полной синхронизации в ансамбле. При некоторых промежуточных значениях связи можно наблюдать два или три облачка, т.е. несколько синхронных кластеров.