- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
Чтобы описать этот эффект, возьмем две идентичные хаотические системы (например, две системы Лоренца) и введем связь, которая
' Возможно, использование другого термина вместо «синхронизация» было бы более уместным; мы все же будем следовать принятой в литературе терминологии, добавляя для определенности прилагательное «полная».
стремилась бы сделать переменные одинаковыми. Будем использовать индексы 1,2 для идентификации систем; притягивающее взаимодействие стремится уменьшить разности Ж2І, |уі_У2І и |~і^~2І-Далее, мы потребуем, чтобы связь была пропорциональна разности состояний осцилляторов (т.е. пропорциональна х\—Х2, У\—уъ z\ — Z2) и обнулялась бы, если эти состояния совпадают, х\ = 3¾, и т.д. Тогда при полном совпадении переменных каждая система не будет чувствовать другую, и будет совершать хаотические колебания, как будто они не связаны. Поскольку системы идентичны, совпадение состояний со временем сохраняется. Этот режим и называется полной синхронизацией: состояния двух систем совпадают и хаотически эволюционируют во времени.
Очевидно, что полностью синхронное состояние может быть реализовано при любой интенсивности связи, но только при сильной связи можно ожидать, что оно будет устойчивым. В самом деле, предположим, что мы слегка возмутили полностью идентичное состояние, т.е. положим х\ ф 3¾ и т.д. Что произойдет с малой разностью Х2 — х.\! Если бы не было связи, ответ следовал бы из свойства неустойчивости хаоса: поскольку два состояния x\,yi,z\ и Ж2,2/2;~2 можно рассматривать (из-за идентичности) как две начальные точки в одной системе, они будут расходиться экспоненциально по времени, причем скорость роста определяется максимальным ляпуновским показателем. При малой связи расходимость будет слабее, из-за «притяжения» двух состояний. При достаточно сильной связи притяжение преобладает и малое различие будет затухать, так что в конце концов устанавливается полностью синхронное состояние.
Мы видим, что полная синхронизация - пороговое явление: она наблюдается, только если связь превышает критическое значение, пропорциональное ляпуновскому показателю отдельной системы. Ниже порога состояния систем близки, но все же различаются. Выше порога они идентичны и хаотически меняются со временем. Этот переход показан для двух связанных систем Лоренца на рис. 5.11 и 5.12.
Roy and Thornburg [1994] экспериментально наблюдали синхронизацию хаотических колебаний интенсивности двух NcbYAG лазеров с модуляцией накачки. Связь осуществлялась перекрытием электромагнитных полей внутри резонатора; она могла изменяться в ходе эксперимента. При сильной связи интенсивности были идентичны и продолжали изменяться хаотически (рис. 5.13).
Рассмотренное выше явление полной синхронизации не может быть, строго говоря, непосредственно обобщено на случай связанных неидентичных систем. Ясно, что теперь состояния не могут в точности совпадать, но они могут быть довольно близкими друг к другу. В частности, при достаточно большой связи может существовать функциональная зависимость хг = Ғ(хі) между состояниями двух систем. Это означает, что, зная функции Ғ, можно однозначно предсказать состояние второй системы, если известно состояние первой. Этот режим называют обобщенной синхронизацией [Rulkov et al. 1995]. Полная синхронизация - это частный случай обобщенной, когда функции F - это просто идентичные функции. Обычно обобщенная синхронизация наблюдается при однонаправленной связи, когда
20
20
одна система (вынуждающая) действует на другую (вынуждаемую), но обратного воздействия нет. Такую ситуацию называют также связью типа «управление-подчинение» (master-slave). Установление обобщенной синхронизации можно интерпретировать как подавление собственной динамики вынуждаемой системы воздействием со стороны другой, так что она «подчиняется управлению».
5.3.3 Полная синхронизация в общем контексте. Пример: синхронизация и кластеры в глобально связанных электрохимических осцилляторах
Ряд обобщений описанного выше явления представляются особенно интересными. Одно обобщение основано на наблюдении, что переход к синхронизации можно рассматривать как установление симметрич-
ного режима в системе, обладающей соответствующей симметрией. Действительно, требуя чтобы идентичные системы взаимодействовали так, чтобы связь обнулялась при совпадении переменных, мы практически накладываем определенные условия симметрии.
Поэтому можно рассмотреть и более общий случай, когда в большой хаотической системе есть некоторая внутренняя симметрия, например, уравнения движения не меняются при перестановке некоторых переменных (скажем, в четырехмерной системе с переменными XjDjZjV перестановка z <Н> v систему не меняет). Тогда режим, в котором эти переменные совпадают (в нашем примере z = v), есть решение, возможно и хаотическое. Если соответствующее малое возмущение z — v затухает со временем, то симметричное решение будет устойчивым, и можно сказать, что подсистемы z и v синхронизованы [Pecora and Carroll 1990]. Такая синхронизация в хаосе иногда тоже называется «управление-подчинение», мы будем чаще говорить о синхронизации системы и ее копии, поскольку обычно уравнение для v получается просто копированием уравнения для z. Отметим, что в этой ситуации нет двух систем, которые могли бы функционировать раздельно или быть связанными. Вместо этого, некоторые переменные внутри одной большой системы могут совпадать, внося частичный порядок в хаос.
Общая симметрия, делающая возможной полную синхронизацию, может возникать при большом числе взаимодействующих хаотических систем. Wang et al. [2000а] экспериментально изучали синхронизацию 64 электрохимических осцилляторов. Глобальная связь осуществлялась путем соединения всех электродов через общую нагрузку: это эквивалентно схеме, показанной на рис. 4.25. Экспериментаторы
постарались сделать элементы ансамбля как можно более близкими. Фазовый портрет одного изолированного осциллятора показан на рис. 5.14а. Если несвязанные элементы наблюдать в какой-то момент времени, то их состояния будут различны (рис. 5.14Ь). Они распределены по фазовому пространству так же, как траектория одной системы. Если ввести достаточно большую связь и сделать «снимок» системы в какой-то момент времени, то фазовые точки, описывающие системы, образуют маленькое облачко, почти точку (рис. 5.14с), что свидетельствует о полной синхронизации в ансамбле. При некоторых промежуточных значениях связи можно наблюдать два или три облачка, т.е. несколько синхронных кластеров.