Тема 3: Гильбертовы пространства

V3

Если (x , y) : H×H → R¹ скалярное произведение, то для любых x,y,z X, любого λ R¹ выполнена аксиома скалярного произведения:

1

(x,y) = (y,x)

1

(λx, y) = λ(x, y)

1

( x + y,z) =( x, z) + (y , z)

0

(x, x) < 0

0

(x,y) = - (y,x)

0

( x + y,z) > ( x, z) + (y , z)

0

( x + y,z) < ( x, z) + (y , z)

0

(x,y) > 0

V3

Если х , у ортогональные элементы, то

1

(х, у) = 0

1

Элементы х, у линейно независимы

1

|| x ||² + || y ||² = || x + y ||²

0

|| x ||² + || y ||² > || x + y ||²

0

|| x ||² + || y ||² < || x + y ||²

0

Найдется λ≠ 0 такой, что у =λ х

0

Для любого λ≠ 0 верно у =λ х

0

Элементы х и у линейно зависимы

V3

Ортонормированная система векторов -

1

Линейно независимая система

1

Норма любого элемента равна 1

1

ортогональна

0

Линейно зависимая система

0

Полная

0

замкнутая

0

Не ортогональная

0

Норма любого элемента больше 1

V3

Свойство скалярного произведения в евклидовом пространстве H

1

Непрерывность скалярного произведения: x_n → x , y_n →y при n → ∞, тогда

(x_n ,y_n)→(x,y) при n → ∞

1

| (x, y) | ≤ || x || ∙ || y|| , x , yH

1

|| x || = ,xH

0

x , y H : | (x, y) | > || x || ∙ || y||

0

|| x || = (x, x)

0

(x, y) =0 , x , yH

0

x_n → x , y_n →y при n → ∞, тогда (x_n ,y_n ) не сходится к (x,y)

0

x_n → x , y_n →y при n → ∞, тогда (x_n ,x) → (y_n , y )

V3

Скалярное произведение (x, y) =

1

в пространстве E^m

1

в пространстве

1

в пространстве L2[a; b]

0

в пространстве E^m

0

в пространстве

0

в пространстве L2[a; b]

0

в пространстве E^m

0

в пространстве L2[a; b]

V3

Скалярное произведение векторов x =(1, 0, 0, …) и y =(0, 1, 0,0,…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку

1

[-1/2; 1/2]

1

[0; 2]

1

[0; 1]

0

[2; 4]

0

[6; 3]

0

[10; 17]

0

[25; 30]

0

[-4; -3]

V3

Скалярное произведение векторов x =(1, 0, 0, …) и y =(-1, 0,0,…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку

1

[-2; 2]

1

[-3; 0]

1

[-1; 1]

0

[2; 4]

0

[6; 3]

0

[10; 17]

0

[25; 30]

0

[-4; -3]

V3

Скалярное произведение векторов x =(1, -1, 0, 0,0, …) и y =(-1, 1, 0,0,0,0…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку

1

[-2; 2]

1

[-4;-1]

1

[-3; 3]

0

[2; 4]

0

[6; 3]

0

[10; 17]

0

[25; 30]

0

[-14; -10]

V3

Скалярное произведение векторов x =(1, 1/2, 0,0, …) и y =(0, 1, 0,0,…) в пространстве принадлежит промежутку

1

[-1/2; 1/2]

1

[0; 2]

1

[0; 1]

0

[2; 4]

0

[6; 3]

0

[10; 17]

0

[25; 30]

0

[-4; -3]

V3

Скалярное произведение векторов x =(-5, 0, 0, …) и y =(1, 0, 0,0,…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку

1

[-5; 0]

1

[-10; 2]

1

[-7; 7]

0

[2; 4]

0

[6; 3]

0

[10; 17]

0

[25; 30]

0

[-4; -3]

V3

Скалярное произведение векторов x =(-8, 0, 0, …) и y =(-2, 0,0,0…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку

1

[-16; 16]

1

[0; 20]

1

[-1; 17]

0

[2; 4]

0

[6; 3]

0

[10; 15]

0

[25; 30]

0

[-4; -3]

V3

Замкнутая система {φ_k } в сепарабельном евклидовом пространстве H

1

Удовлетворяет равенству Парсеваля

1

Полная ортогональная нормированная система

1

Для любого f H верно = ||f || , где c_k = (f, φ_k)

0

Для любого f H верно > ||f || , где c_k R¹

0

f H ,что < || f || , где c_k R¹

0

Имеет мощность континуума

0

Не ортогональная

0

Не полная ортогональная система