§ 26. Поверхности вращения.

П

Рис. 64

оверхностью вращения называется поверхность, обладающая следующим свойством: любое ее сечение плоскостью, проходящей через точку поверхности, перпендикулярной к некоторой прямойl (ось вращения), содержит окружность (параллель), центр которой лежит на прямой l и которая проходит через взятую точку.

Меридианом поверхности вращения называют ее сечение плос­костью, проходящей через ось вращения. Иногда меридианом на­зывают сечение поверхности вращения полуплоскостью, ограни­ченной осью вращения.

Говорят, что поверхность вра­щения получается вращением ее меридиана (любого) вокруг оси l (рис. 64).

Теорема. Пусть относительно декартовой прямоугольной систе­мы координат хОу на плоскости задан меридиан С поверхности вращения уравнением

F(x, y)=0. (1)

Тогда уравнение поверхности П, образованной вращением линии С вокруг оси Ох в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz (рис. 65), будет иметь вид

. (2)

Рис.65

Доказательство. Расстояние от произвольной точки М(х,у,z) пространства до оси Ох равно . Поэтому точ­ка М(х,у,z) пространства лежит на поверхности П тогда и только тогда, когда точка Р плоскости хОу с абсциссой х и орди­натой лежит на данном ее меридиане, т. е. тогда и только тогда, когда выполнено соотношение (2).

Пример 1. Рассмотрим уравнение окруж­ности радиуса а с центром в начале декартовой прямоугольной системы координат хOу. При вращении этой окружности вокруг оси Ох получим сферу радиуса а с центром в начале координат. Уравнение этой сферы на основа­нии предыдущей теоремы имеет вид или

Пример 2. Рассмотрим прямую, заданную уравнением y=kx относительно декартовой прямоугольной системы координат.

Уравнение поверхности вращения, полученной при вращении этой прямой вокруг оси Ох, т. е. уравнение прямого кругового конуса с вершиной в на­чале координат, имеющего своей осью Ох, имеет вид (знак + берется для тех значенийх, для которых kx>0, а знак - для тех значений х, для которых kx<0), или .

Тангенс угла а между осью Ох и образующей этого конуса равен .

Пример 3. Рассмотрим прямую, параллельную оси Ох, заданную уравне­нием относительно декартовой прямоугольной системы координат. Уравнение поверхности, полученной при вращении этой прямой вокруг осиОх, т. е. уравнение прямого круглого цилиндра радиуса b, ось которого совпа­дает с осью Ох, имеет вид

или .

Пример 4. Рассмотрим окружность радиуса а с центром в точке (0, b), ле­жащем на оси Оу, заданную уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат.

Поверхность, полученная вращением этой окружности вокруг оси Ох, имеет уравнение , причем, если b > a > 0, то перед радикалом надо взять только знак +, если -b>а>0, то только знак - . Если < а, то ±. Упрощая последнее уравнение, получим , (1)

которое эквивалентно уравнению

. (2)

Если b>а>0, то эта поверхность называется тором (рис. 66).

Получим параметрические уравнения этого тора. Пусть С-центр окружности произвольного сечения тора полуплоскостью, проходящей через ось Ox; M(x,y,z) - произвольная точка, лежащая на окружности

Рис 66.

(С); R-проекция точки М на плоскость zOу, а Р и Q - проекции точки R на оси Oz и Оу (рис. 67). Обоз­начим через и угол от оси Оу до оси ОС в плоскости уОz, а через - угол от луча до лучав плоскостиСОх (которая ориентирована ориентирован­ным углом . Тогда:

Итак, параметрические уравнения тора:

Область D изменения параметров и и такова:

. (D)

Параметр и называется долготой точки M тора, а параметр -широтой. Исключим из уравнений (3) параметры и и . Имеем откуда .

Далее, ,

значит,

то же уравнение, что и полученное выше.