![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция 3 Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •§ 112. Гипербола и ее каноническое уравнение
- •§ 113. Исследование формы гиперболы
- •§ 114. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •§ 115. Параметрические уравнения гиперболы
- •§ 116. Сопряженные гиперболы
- •§ 117. Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам.
- •§ 118. Касательная к гиперболе.
- •§ 119. Оптическое свойство гиперболы.
§ 114. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
Отношение
расстояния от центра гиперболы до фокуса
к действительной полуоси гиперболы
называется эксцентриситетом гиперболы
и обозначается буквой е:
.
Так как
для гиперболы
,
то эксцентриситет гиперболы больше 1.
Формулы
теперь
можно переписать так:
(1)
и
(2)
Эти
четыре формулы можно объединить:
(3)
Две
прямые, перпендикулярные действительной
оси гиперболы и отстоящие от центра
гиперболы на расстоянии
,
называются директрисами гиперболы.
Если
гипербола задана каноническим уравнением
,
то уравнение директрис имеют вид
и
.
Так как
эксцентриситет гиперболы больше 1, то
директрисы гиперболы отстоят от ее
центра на расстоянии, меньшем действительной
полуоси (рис. 169). Фокус и директриса
гиперболы, расположенные по одну сторону
от мнимой оси, называются соответствующими
друг другу. Таким образом, фокусу
соответствует директриса
,
а фокусу
- директриса
.
Рис. 169
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса гиперболы к расстоянию от той же точки до директрисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, было равно эксцентриситету гиперболы.
Доказательство
необходимости. Рассмотрим, например,
фокус
и соответствующую ему директрису
.
Расстояние
от точки М(х,
у)
гиперболы
до фокуса
равно
,
а
расстояние от той же точки М(х,
у)
до директрисы
равно
.
Отсюда
.
Аналогично
доказывается, что
,
где
- есть расстояние от точки М(х,
у)
гиперболы до ее фокуса
,
а
- расстояние от той же точки М
до директрисы
,
соответствующей фокусу
,
а
- расстояние от той же точки М
до директрисы
,
соответствующей фокусу
.
(Доказательство достаточности такое же, как и для эллипса).
Расстояние
от фокуса
до директрисы
гиперболы равно
,
а
эксцентриситет
отсюда
Если
задана произвольная точка
прямая
не проходящая через точку
и число
,
то существует, и притом только одна
гипербола, эксцентриситет которой
равен е,
- фокус, а
- соответствующая директриса.
Центр
О
этой
гиперболы отстоит от точки
на расстоянии
причем
точки О
и
расположены по разные стороны от прямой
(рис.170), а большая полуось этой гиперболы
равна
Рис. 170
Доказанная
теорема и последнее утверждение позволяют
дать гиперболе другое определение,
эквивалентное принятому выше: гипербола
есть геометрическое место точек, для
каждой из которых отношение расстояния
от данной точки
к расстоянию до данной прямой
,
не проходящей через точку
,
равно данному числу
.
§ 115. Параметрические уравнения гиперболы
Перепишем уравнение гиперболы:
в виде
Отсюда
видно, что
Положим
тогда
и
следовательно,
(1)
§ 116. Сопряженные гиперболы
Две гиперболы, заданные уравнениями
и
в одной и той же декартовой прямоугольной системе координат с одними и теми же значениями полуосей а и b, называются сопряженными (рис. 172).
Выше доказано, что всякая гипербола
может
быть выражена параметрическими
уравнениями
;
параметрические уравнения гиперболы, сопряженной с данной, будут
.
Рис. 172