- •Аналитическая геометрия.
- •Глава 12. Поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями Лекция 14. § 166. Определение поверхности второго порядка по отношению к дпск.
- •Аналитическая геометрия.
- •Глава 12. Поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями
- •§ 155. Центр поверхности второго порядка
- •§ 155. Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров.
- •§ 160. Касательная плоскость к поверхности второго порядка
- •§ 161. Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка.
- •§ 162. Эллиптические, гиперболические или параболические точки поверхности второго порядка.
Аналитическая геометрия.
Глава 12. Поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями
§ 155. Центр поверхности второго порядка
Определение. Центром поверхности второго поряд-ка называется центр симметрии этой поверхности.
Теорема 1. Пусть относительно ДПСК поверхность второго порядка в пространстве задана следующим общим уравнением:
Для того, чтобы начало координат было центром этой поверхности, необходимо и достаточно, чтобы в её уравнении отсутствовали члены с ,ив первой степени, т.е. чтобы. Иначе, чтобы уравнение (1) имело следующий вид ():
Доказательство необходимости. П редположим, что начало координат является центром поверхности (1). Возьмём на поверхности (1) произвольную точку . Её координаты будут удовлетворять уравнение (1), а так как начало координат является центром симметрии поверхности (1), то уравнению (1) будут удовлетворять и координаты точкисимметричной точкеотносительно начала координат, т.е.
Из этого соотношения и соотношения (1) находим:
. Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности (1). Предположим, что хотя бы одно из чисел ,,не равно нулю. Тогда все точки поверхности лежат в плоскости. Это может быть тогда и только тогда, когда уравнение (1) определяет две плоскости, совпадающие с плоскостью. Тогда левая часть уравнения (1) разлагается в произведение двух линейных относительно,,множителей, одним из которых является выражение:
. Плоскость, заданная уравнением , на основании сделанного замечания (тогда левая часть уравнения (1) разлагается в произведение двух линейных относительно,,множителей) должна совпадать с плоскостью, значит,. И поэтому. Здесь мы приходим к противоречию с тем, что в уравнении (1) хотя бы один из коэффициентов при,илив первой степени отличен от нуля (т.к. если раскроем этот квадрат - первых степеней мы не получим).
Теорема 2. Если относительно ДПСК поверхность второго порядка задана общим уравнением (1), то координаты ,,её центра определяются из системы:(2)
Причём в случае несовместности этой системы поверхность не имеет центра.
Доказательство. Произведём параллельный пере-нос данной ДПСК, при котором новым началом будет точка . Обозначая старые координаты произвольной точкичерез, а новые её координаты - через, будем иметь:;;и уравнение (1) примет вид:
Где - результат подстановки координатточкив левую часть уравнения (1). На основании предыдущей теоремы 1 точкабудет центром поверхности (1) тогда и только тогда, когда члены с первыми степенямиравны нулю, т.е.ЧТД.
§ 155. Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров.
Пусть поверхность второго порядка задана общим уравнением (1) относительно ДПСК. Рассмотрим матрицы и.
В таблице 1 даны необходимые и достаточные признаки характера места центров поверхности, заданной уравнением (1).
Таблица 1
Ранг А |
Ранг А* |
Характер места Центров |
3 |
3 |
Точка |
2 |
3 |
Нет центра |
2 |
2 |
Прямая |
1 |
2 |
Нет центра |
1 |
1 |
Плоскость |
В самом деле, если каждое из уравнений системы (5) является уравнением первой степени, т.е. в каждом из уравнений системы (5) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю то в таблице 1 приведены известные нам признаки о взаимном расположении 3 плоскостей.