Контрольная работа 1 АПз-310 / Электротехника Ч1

31

жен в основу метода. На первом этапе определяют междуузловое напряже- ние, а затем, применяя закон Ома, вычисляют токи ветвей.

Пусть анализу подлежит схема рис. 2.8, а. Схема содержит активные и пассивные ветви, соединенные параллельно. Определим токи всех ветвей цепи, применив метод междуузлового напряжения.

Формулу для междуузлового напряжения можно получить, используя принцип суперпозиции. Следуя этому принципу, сначала определим напря- жение, создаваемое между узлами одним источником тока и одним источ- ником Э.Д.С. Полученные выражения распространим на общий случай, ко- гда в цепи действует m источников Э.Д.С. и к источников тока.

Обозначим сложные потенциальные узлы схемы индексами А и В. На- пряжение UIАВ между узлами А и В, создаваемое только источником тока I, определим по схеме рис. 2.8, б. Согласно первому закону Кирхгофа, ток ис- точника I равен сумме токов всех ветвей:

i =1

33

Если схема содержит к источников тока и m источников Э.Д.С., то напряжение UАВ между узлами равно алгебраической сумме напряжений, создаваемых источниками тока и источниками Э.Д.С., т. е.

i=1

Ввыражении (2.16) произведения gi,·Ei и Ii берут со знаком плюс, когда направления Еi и Ii противоположны выбранному условно – положи тельному направлению напряжения UАВ, и со знаком минус, когда эти направления совпадают.

Зная междуузловое напряжение UАВ, легко найти токи, как в пассивных, так и в активных ветвях цепи рис. 2.8, а:

5. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ АКТИВНОГО ЭКВИВАЛЕНТНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА

При анализе сложных электрических цепей часто интересуются электрическим состоянием лишь одной ветви. В таком случае полезен метод эквивалентного генератора (метод активного эквивалентного двухполюсника). Обоснованием данного метода является теорема об активном эквивалентном двухполюснике. Теорема утверждает, что любую, сколь угодно сложную

электрическую цепь или ее часть, можно представить активным эквива-

34

лентным двухполюсником с параметрами Еэкв и Rэкв. Режим работы ветви,

присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.

Пусть анализу подлежит схема электрической цепи, приведенной на рис. 2.9, а. Предположим, что в этой цепи нас интересуют напряжение и ток только одной ветви – R3. Решим задачу применением метода активного эквивалентного двухполюсника. Для этого всю схему, кроме ветви R3, представим активным двухполюсником (рис. 2.9, б). К зажимам двухполюсника а и б присоединим ветвь R3.

Параметры двухполюсника Rэкв и Еэкв определяются составом и топологией схемы цепи рис. 2.9, а. Поэтому режим работы ветви R3 не изменился. Но теперь для определения тока в ней достаточно применить закон Ома:

В этом и заключается преимущество рассматриваемого метода.

Для решения (2.17) необходимо определить значения Еэкв и Rэкв. Значение Еэкв определяют исходя из того, что напряжение Uхх на разомкнутых зажимах источника равно значению его Э.Д.С. – Еэкв.

Разомкнем зажимы а, б. Схема рис. 2.9, а примет вид рис. 2.10, а. Напряжение между разомкнутыми узлами а, б – Uхх = Еэкв. Схема рис. 2.10, а позволяет определить это напряжение, используя принцип суперпозиции.

35

Для этого последовательно определяем напряжение узла а, затем узла б, а затем вычисляем разность напряжений.

Напряжение узла а:

Uа = I1 · R2 = E · R2/(R1 + R2).

Напряжение узла б:

Uб = I · R4.

Тогда

Эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – Rэкв находится также относительно разомкнутых зажимов а, б. Однако дополнительно требуется исключить источники электрической энергии. Правила исключения источников заключаются в следующем.

При исключении источника Э.Д.С. полагают, что напряжение на его зажимах и внутреннее сопротивление равны нулю. Поэтому зажимы ис-

точника Э.Д.С. замыкают накоротко.

При исключении источника тока полагают, что ток источника равен нулю, а внутреннее сопротивление – бесконечности. Поэтому зажимы ис-

точника тока разрываются.

После исключения источников электрической энергии схема рис. 2.10,

36

а приходит к виду рис. 2.10, б (полагаем, что между узлами а, б сохраняется режим холостого хода). Теперь очевидно, что эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – Rэкв определится выражением:

Подставляя выражения, полученные для Еэкв и Rэкв в (2.17), получим:

Таким образом, метод активного эквивалентного двухполюсника существенно упрощает процесс анализа, но требует определенных навыков в преобразовании топологии схемы к удобному и наглядному виду.

7. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В практике электротехники часто встречаются цепи с R и L элементами, например, цепи с электродвигателями, трансформаторами, электромагнитными реле и т. д. Схема замещения таких цепей имеет вид рис. 2.11, а. При подключении к цепи источника постоянного напряжения, в ней возникает переходной процесс. К анализу переходных процессов применяют классический, операторный методы или метод с использованием интеграла Дюамеля. Рассмотрим классический метод анализа переходного процесса.

После замыкания ключа К в положение 1 электрическое состояние цепи определяется выражением (1.16). Это линейное дифференциальное уравнение. Общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен

37

сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение находят с учетом законов коммутации (ток через индуктивность в момент коммутации не изменяется). Поэтому решение имеет вид:

пр Rk

Результат частного решения называют принужденной составляющей тока. Однородное уравнение получают из (1.16) с учетом до коммутацион-

ных начальных условий:

Общим решением (2.19) является показательная функция вида A e pt , причем А – постоянный коэффициент, p – корень характеристического уравнения. Результат общего решения называют свободной составляющей тока, т. е.:

Rk

Согласно первому закону коммутации при t = 0 ток i(t) также равен нулю. Поэтому (2.20) приходит к виду

E + A = 0 , Rk

откуда

38

A = − E . Rk

Подставляя значение А в (2.20) получаем окончательное решение:

где τ = L/Rк – постоянная цепи.

Выражение (2.21) показывает, что ток в цепи с индуктивностью нарастает по экспоненциальному закону, стремясь к значению U/R. Скорость изменения тока определяется постоянной цепи τ. Эта зависимость показана на графиках рис. 2. 11, б. На графиках τ1 = L/Rк, τ2 = 2L/Rк.

Напряжение на резистивном элементе пропорционально току (рис. 2.11, в)

UL

Рассмотрим переходный процесс при отключении источника постоянного напряжения от цепи рис. 2.11, а. Допустим, что ключ К находится в положении 1 достаточно долго, так, что цепь перешла в установившейся режим. В установившемся режиме сила тока ограничена только сопротивлением провода катушки индуктивности – Rк, и равна i0 = U / Rk . Переведем ключ К в положение 2.

39

Согласно закону коммутации ток через индуктивность после отключения источника остается равным i0. Выражение (1.16) принимает вид:

di

L dt + (R + Rk ) i = 0.

Так как источник отсутствует, принужденной составляющей тока нет. В цепи протекает только свободная составляющая тока

где τ′ = L/(R + Rk) – постоянная цепи после переключения ключа К, А = i0. Если R = n·Rk, то падение напряжения на нем в первый момент после

коммутации окажется в n раз больше напряжения источника. Такой бросок напряжения может привести к аварийной ситуации в цепи. Это следует иметь в виду при проектировании, расчете и эксплуатации цепей с индуктивностью.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

2.1.Как определяются знаки членов уравнений, составленных: а) по первому закону Кирхгофа, б) по второму закону Кирхгофа?

2.2.Составьте уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы рис.

2.7, б.

2.3.Составьте уравнения по второму закону Кирхгофа для всех контуров схемы

рис. 2.6, б.

2.4.Какое соединение участков электрической цепи называется последовательным? Приведите соотношение для эквивалентного сопротивления цепи из n последовательно соединенных сопротивлений.

2.5.Какое соединение участков электрической цепи называется параллельным? Приведите соотношение для эквивалентного сопротивления цепи из n параллельно соединенных сопротивлений.

40

2.6.Приведите схемы соединений треугольником и звездой. Определите значение элементов эквивалентного соединения треугольником, если в схеме рис. 2.4, а R1 = R2 = R3 = 10 Ом.

2.7.В каких случаях возможно и целесообразно применять к анализу электриче-

ских цепей метод эквивалентных преобразований? В чем состоит суть этого метода?

2.8.В схеме рис. 2.6, б определите значение источника Э.Д.С. Е, если известно,

что R1 = R3 =2 Ом, R2 = R4,5 = 10 Ом, а I3 = 2 А.

2.9.В каких случаях целесообразно применение метода контурных токов? Как оп-

ределяются значения контурных сопротивлений и контурных Э.Д.С., взаимных сопротивлений?

2.10.В чем состоит суть междуузлового метода анализа электрической цепи? Как определяются знаки Э.Д.С. в выражении для междуузлового напряжения?

2.11.Определите UАВ и токи всех ветвей схемы рис. 2.8, в, если известно: Е1 = 10

В; R1 = 2 Ом, R2 = 10 Ом,а R3 = 20 Ом.

2.12.Для каких случаев расчета электрических цепей применяется метод активного эквивалентного двухполюсника?

2.13.Сформулируйте правила определения параметров активного эквивалентного двухполюсника.

2.14.В схеме рис. 2.6, б известно: Е = 32,8 В, R1 = R3 = 2 Ом, а R2 = R4,5 = 10

Ом. Определите ток I3 методом активного эквивалентного двухполюсника.

2.15.В схеме рис. 2.11 известно: Е = 10 В, Rк = 2 Ом, R = 20 Ом, а L = 0,1 Гн. Постройте график изменения тока цепи после замыкания ключа К до установившегося значения. Определите бросок напряжения на резистре R в момент размыкания ключа К после установившегося режима.

ЛЕКЦИЯ 3. СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК. ФОРМЫ ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

В практике электротехники в качестве переменного тока широкое применение нашел ток синусоидальной формы. Это обусловлено рядом