Контрольная работа 1 АПз-310 / Электротехника Ч1

71

Треугольник токов наглядно показывает, что для достижения резонанса в цепи необходимо обеспечить равенства противофазных токов I L и IC .

Тогда результирующий реактивный ток цепи Ir и угол ϕ будут равны нулю,

а сопротивление цепи станет активным. Из выражения (6.5) следует, что ток Ir может быть равен нулю при соблюдении условия

– значение одного из элементов L или С по заданному значению резонансной частоты – ω0 и по известному значению другого элемента

Но это значение равно току, протекающему через активное сопротивление цепи I R , т.е.

72

Аналогично определим выражение для тока, протекающего через элемент С:

Сопоставим выражения (6.8), (6.14) и (6.15). Видим, что токи Ì0C и Ì0L равны по величине и противоположны по фазе (см. рис. 6.3). Величина Qк равна

может быть больше единицы, в специальных устройствах достигает несколько десятков и сотен единиц и называется добротностью.

Еще раз подчеркнем замечательную особенность цепи в режиме резонанса. Токи, протекающие в ветвях реактивных элементов, могут принимать значения в десятки и сотни раз больше общего тока цепи. Поэтому резонанс цепи называют резонансом токов. Очень важно и то, что они противофазные. Именно это указывает на то, что в цепи происходит колебательный процесс с частотой ω0 по передаче электрической энергии конденсатора в магнитную энергию индуктивности и наоборот.

При идеальных элементах L и С энергия источника на этот процесс не затрачивается. Она расходуется только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь рис.6.1. называют параллельным колебательным контуром.

Чтобы завершить анализ цепи, рассмотрим зависимость токов ее ветвей и напряжения между узлами U от частоты (рис.6.4). Ток, протекающий через элемент R - iR, определяется законом Ома и не зависит от частоты. Ток через емкость ic согласно (6.15) прямо пропорционален частоте, а ток через индуктивность iL –обратно пропорционален. На частоте ω0 они равны по вели-

73

чине, но противоположны по направлению. Общий ток цепи определяется суммой трех токов. Он имеет большое значение на частотах, значение которых значительно больше или меньше значения резонансной частоты.

На резонансной частоте общий ток принимает значение iR. Физически это означает, что на резонансной частоте проводимость цепи минимальна (она равна проводимости только элемента R). Поэтому падение напряжения между узлами цепи максимально на частоте ω0 и уменьшается при удалении от ω0. В силу этих качеств параллельный колебательный контур широко применяют в радио и радиотехнических устройствах для выделения сигналов на заданной частоте.

3. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным соединением элементов (рис. 6.5). Известно, что комплексное сопротивление такой цепи определяется выражением

Z = R + j(ωL − 1 ) .

ωC

74

По определению резонанс в цепи рис.6.5 наступает, когда выполнится условие

ωL = 1 . ωC

Отсюда видно, что резонанс в цепи возникает на частоте

ω0 = 1/ LC .

Очевидно также, что

Видим, что полученные выражения полностью соответствуют (6.9) и (6.10). Это подтверждает единство физической сути различных видов резонанса.

Определим ток и напряжение всей цепи, а также падение напряжения на ее отдельных элементах в режиме резонанса. Так как сопротивление всей цепи в режиме резонанса минимально и равно R, то ток в ней максимален и равен

Падение напряжения на отдельных элементах легко найти по закону Ома. Так, падение напряжения на резисторе R равно

Тривиальный математически результат интересен по физической сути

– при резонансе все напряжение источника выделяется на R элементе цепи. Падение напряжения на индуктивности определяется выражением:

75

называется добротностью и может принимать значение десятков и сотен единиц. Значит, падение напряжения на индуктивности может в десятки и сотни раз превышать Э.Д.С. источника.

Падение напряжения на емкости равно

Так как ω0 L / R = 1/ Rω0C , то падение напряжения на емкости равно по величине падению напряжения на индуктивности, но они противоположны по знаку. Отношение напряжения на индуктивности или на емкости в ре-

жиме резонанса к току в этом режиме называют характеристическим

В силу того, что

U0L = U0C >> E ,

рассматриваемый режим назван резонансом напряжений. Противоположность фаз напряжений U 0C и U 0 L указывает на то, что в цепи происходит такой же колебательный процесс с частотой ω0, как и в параллельном колебательном контуре. Здесь также энергия источника затрачивается только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь называется последовательным колебательным контуром.

Завершим анализ резонанса напряжений построением частотной зависимости тока цепи (рис.6.5) и падений напряжений на элементах L и С

(рис.6.6).

На рисунке штрихпунктирной линией отмечен график ЭДС. На частоте ω=0 сопротивление идеальной индуктивности отсутствует. Поэтому падение напряжения uL также равно нулю. С увеличением частоты сопротивление индуктивности, а значит, и падение напряжения на ней, увеличивают-

76

ся. Когда частота устремляется в бесконечность, сопротивление ХL также устремляется в бесконечность. При этом падение напряжения uL стремится к Е. Между крайними точками графика uL=ƒ(ω) существует экстремум напряжения U Lm , который находится по формуле

Частота, на которой достигается этот максимум, определяется форму-

лой:

Сопротивление емкости на частоте ω=0 равно бесконечности. Значит, напряжение на ее обкладках равно Е. С увеличением частоты сопротивление ХС уменьшается. Когда частота устремляется в бесконечность, сопротивление XC устремляется к нулю. Между крайними точками также существует экстремум, причем

77

Частота, на которой достигается этот максимум, определяется выражением

Так как подкоренное выражение в (6.24) и (6.26) всегда меньше единицы, то очевидно, что

ωCm < ω0 < ωLm .

Кроме того

UL0 = UC 0 < ULm = UCm .

Всилу этих особенностей достоверным признаком наступления резонанса в цепи является максимум тока, значение которого изменяется с изменением частоты по резонансной кривой.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

6.1.Объясните, чем определяется характер сопротивления электрической цепи синусоидального тока и как его можно изменять.

6.2.Сформулируйте определение резонанса цепи. Назовите виды резонанса, приведите их отличительные признаки и общие свойства.

6.3.Приведите выражения для добротности параллельного и последовательного колебательных контуров. Чем отличаются эти выражения?

6.4.В схеме рис. 6.1 известно: е(t) = 14,1 sin 314 t, R = 200 Ом, а L = 0,1 Гн. Опре-

делите значение емкости, при котором в цепи возникнет резонанс.

6.5.По данным задачи 6.4 определите добротность цепи рис. 6.1, общий ток цепи,

атакже токи ее ветвей.

6.6.Используя данные задачи 6.5, определите полную, активную и реактивную

78

мощность цепи по схеме рис. 6.1. Сформулируйте предложение по способу увеличения коэффициента мощности цепей синусоидального тока.

6.7.Сформулируйте определение характеристического сопротивления.

6.8.В схеме рис. 6.5 известно: е(t) = 14,1 sin 314 t, R = 4,9 Ом, а L = 0,1 Гн. Опре-

делите значение емкости, при котором в цепи возникнет резонанс.

6.9.По данным задачи 6.8 определите добротность цепи рис. 6.5, общий ток цепи,

атакже падение напряжения на R, L и С элементах. Сравните полученные результаты с результатами задачи 6.5. Назовите параметры цепей, имеющие одинаковые и различные значения.

ЛЕКЦИЯ 7. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Разработка трехфазных цепей была исторически обусловлена. Необходимость в их разработке вызывалась требованиями развивающегося промышленного производства. Возможность решения этой проблемы определялась успехами в области изучения электрических и магнитных явлений, опытом практического использования уже освоенных электротехнических устройств.

В разработку трехфазных систем большой вклад сделали ученые и инженеры разных стран: Н. Тесла, М. О. Доливо-Добровольский, Ф. Хазельвандер, М. Депре, Ч. Бредли. Наибольшая заслуга среди них принадлежит выдающемуся русскому ученому М. О. Доливо-Добровольскому. Он сумел придать своим работам практический характер и создал трехфазные асинхронный двигатель, трансформатор, разработал четырехпроводную и трехпроводную электрические цепи.

При активном участии М. О. Доливо-Добровольского в 1891 г. была сооружена первая линия электропередачи. Линия имела длину 170 км, напряжение

79

U=15 кВ и высокий, по тем временам, к. п. д. η=75%. С этого времени началось бурное развитие электрофикации.

В современных энергетических системах генерирование и передача больших потоков энергии осуществляется трехфазными цепями (системами). Их широкое распространение объясняется, главным образом, тремя основными причинами:

а) передача энергии на дальние расстояния трехфазным током экономически более выгодна, чем переменным током с иным числом фаз;

б) элементы трехфазной системы - трехфазный асинхронный двигатель и трехфазный трансформатор весьма просты в производстве, экономичны и надежны в работе;

в) трехфазная система обладает свойством неизменности величины мгновенной мощности за период синусоидального тока в том случае, если нагрузка во всех фазах трехфазного генератора одинакова.

1. ТРЕХФАЗНАЯ СИСТЕМА Э.Д.С.

Под симметричной трехфазной системой Э.Д.С. понимают совокуп-

ность трех синусоидальных Э.Д.С. одинаковой частоты и амплитуды,

сдвинутых по фазе на 1200. График их мгновенных значений представлен на рис. 7.1, а векторная диаграмма - на рис. 7.2.

Трехфазную систему Э.Д.С. получают при помощи трехфазного генератора, в пазах статора которого размещены три электрически изолированные друг от друга обмотки - фазные обмотки генератора. Плоскости обмоток смещены в пространстве на 120°. При вращении ротора генератора в обмотках наводятся Э.Д.С., одинаковые по амплитуде, но сдвинутые по фазе на 120°.

Чтобы отличить три Э.Д.С. трехфазного генератора друг от друга, их обозначают соответствующим образом. Если одну из Э.Д.С. обозначить eА(t)

80

EA

120120

120

EC EB

На электрической схеме трехфазный генератор изображают в виде трех обмоток, расположенных друг к другу под углом 1200. При соединении «звездой» одноименные зажимы (например, концы – X, Y, Z) трех обмоток объединяются в один узел, который называют нулевой или нейтральной точкой генератора и обозначают буквой «О» (рис. 7.3). Провод, соединяю- щий нейтральные точки генератора и приемника, называют нейтральным.

Начала обмоток генератора обозначают буквами А, В, С. Провода, со- единяющие начала фаз обмоток генератора и приемника, называют линей- ными. Для соединения такого генератора с приемником, как правило, требует- ся четыре провода. Поэтому цепь называют трехфазной четырехпроводной.