2.5 Проверка опорного плана на оптимальность

1. Для проверки на оптимальность необходимо сначала построить систему потенциалов. К транспортной таблице добавляем по строке и столбцу, которых записывают значения потенциалов. Значения потенциалов рассчитываются из условий u_i+v_i=c_ij , где c_ij стоимость перевозки ед. груза занятой клетки в i –той строке и j –том столбце.

Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными. Их число должно равняться m + n - 1. Необходимо отметить также, что встречаются такие ситуации, когда количество базисных клеток меньше чем m + n - 1. В этом случае распределительная задача называется вырожденной. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю.

Систему можно строить для невырожденного опорного плана. Такой план содержит m+n-1 занятых клеток, поэтому для него можно составить систему из m+n-1 линейных уравнений вида u_i+v_i=c_ij. Уравнений на одно меньше, чем неизвестных, поэтому одному неизвестному (обычно u₁) придают нулевое значения. Остальные потенциалы определяются однозначно.

2. Выполняем проверку условий оптимальности для незанятых клеток. Просматриваем строки и для каждой незанятой определяем d_ij=u_i+v_j-c_ij и если d_ij положительно, то в данной клетки нарушено условие оптимальности. Для таких клеток в нижнем левом углу записываем значение d_ij.

3. Выбираем клетку, в которую нужно послать перевозку по максимальному значению d_ij .

4. Построение цикла и определение величины перераспределения груза. Для этого выбранную клетку помечаем знаком «+» и соединяем ее с ближайшими занятыми клетками замкнутой ломаной линией. Эта линия называется циклом или прямоугольным контуром. Циклом в транспортной задаче называется несколько занятых клеток, соединённых замкнутой ломанной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90°. Вершинам ,начиная от выбранной клетке, присваиваем поочередно знак «+» и «-». Из клеток, помеченных знаком «-», выбираем с наименьшим объемом груза ( x)и этот груз надо перераспределить

5. В результате распределения строится новый опорный план и возвращаемся к пункту 1.

Пример

Оптовые базы (А1-А4) имеют товаров соответственно в количестве: 100, 250, 200, 300. Торговые предприятия (В1-В5) подали заявки соответственно: 200, 200, 100, 100, 250 . Стоимость перевозок от :

• А1 к потребителям В1-В5 соответственно: 10, 7, 4 , 1 , 4

• А2 к потребителям В1-В5 соответственно: 2, 7, 10, 6,11

• А3 к потребителям В1-В5 соответственно: 8, 5, 3, 2, 2

• А4 к потребителям В1-В5 соответственно: 11, 8,12,16,13

Матрица планирования		Пункты назначения					Запасы Ai
		В1	В2	В3	В4	В5
Пункты отправл.	vj ui		8	12	13	13
A1	-12	10	7	4	1 100	4	100
A2	-1	2 200	7 50	10	6	11	250
A3	-11	8	5	3	2 0	2 200	200
A4	0	11	8 150	12 100	16	13 50	300
Заявки		200	200	100	100	250	850

1. Строим начальный опорный план методом наименьших стоимостей. Клетка A₁ В₄ имеет наименьший тариф и ей направляем весь груз от A_1. Заявки потребителя В₄ удовлетворены полностью и от поставщика A₁ груз вывезен полностью. Столбец В₄ и строку A₁ исключается из рассмотрения. Далее наименьший тариф в клетке A₂ В₁ и A₃ В₅. Заполняем любую например A₂ В_1.. В эту клетку направляем груз от поставщика A₂ и полностью удовлетворяем потребности потребителя В_1. Столбец В₁ исключаем из рассмотрения и т.д. Получаем начальный опорный план.

2. Строим систему потенциалов для занятых клеток. Нулевое значение потенциала u_i присваиваем строчке с наиболее заполненными клетками A_4.Потом однозначно определяем остальные потенциалы из уравнения u_i+v_i=c_ij. Кроме строки A₂ и столбца В_4. Наш план вырожден т.к. не выполняется условия - занятых клеток д.б. m+n-1 т.е. 8 , а у нас 7. Вводим фиктивную клетку с минимальным тарифом и нулевым грузом A₃ В₄ и для нее определим потенциал столбика В₄. А далее и строки А_1.

Считаем суммарную стоимость перевозок

_{m n}

F(X)=  С_ij x_ij =1*100+2*200+7*50+2*200+8*150+12*100+13*50=4300

^{I=1 j=1}

3. Определяем условие оптимальности для незанятых клеток по уравнению d_ij=u_i+v_j-c_ij, и д.б. d_ij<0_, Для строки А₁, А₃,_,А₄ это условие удовлетворяется. Для клеток А₂В₃ d₂₃=1, А₂В₄ d₂₄=6, А₂В₃₅ d₂₅=1.

4. Выбираем клетку в которую необходимо послать перевозку по максимальному положительному значению d_ij ( клетка А₂В₄). Строим для нее прямоугольный контур (цикл) по занятым клеткам (А₂В₄ - А₃В₄ (фиктивно занятая клетка) – А₃В₅ – А₄В₅ – А₄В₂ – А₂В₂ - А₂В₄). В выбранной клетке ставим «+», во всех остальных вершинах контура ставим знаки «-», «+» , чередуя. В вершинах, где стоят «-» выбираем минимальное значение x_ij. Это будет клетка А₃В₄. Следовательно, эту клетку надо сделать не занятой, а ее груз перераспределить, добавляя к клеткам с «+» и вычитая из клеток с «-». В нашем случае груз равен нулю и только перевозка с А₃В₄ переместится на А₂В₄. В остальных вершинах ничего не изменится т.к. прибавляем и вычитаем ноль. Далее возвращаемся к пункту 2.

Литература

1. Фомин Г.П. Методы и модели линейного программирования коммерческой деятельности: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000

2. Таха , Хэмди А. Введение в исследование операций , 6-е издание : Пер. с англ.- М.: Издательский дом «Вильямс», 2001 – 912 с.

3. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Экономико-математические методы и модели в менеджменте : Учебное пособие. 2-е издание. СПб.: Изд-во СПбГТУ,2000,203с.