Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Череповецкий государственный университет

Методы одномерной оптимизации

Выполнил:

студентка гр. 1АП-21 Мисин А.В.

Проверил:

Макарова Н.Л.

г. Череповец,

= А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04

= А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04

= А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04

Найти минимум функции х0=1; ; ; .

№ варианта 5

Метод сканирования

Метод половинного деления

Метод золотого сечения

Метод кубической интерполяции

F(x)=sin(2x+1)

1. Метод сканирования.

Метод сканирования заключается в последовательном переборе всех значений a≤x≤b с шагом ε (погрешность решения) с вычислением критерия оптимальности R в каждой точке. Путем выбора наибольшего из всех вычисленных значений R и находится решение задачи x*.

[-1;2]

X	-1	-0,4	0,2	0,8	1,4	2
F(x)	-0,8414	1,98669	0,985449	0,5155019	-0,611875	-0,958924

[-0,4;0,8]

Х	-0,4	-0,16	0,08	0,32	0,56	0,8
F(x)	0,198669	0,628793	0,9168031	0,9976063	0,892995	0,5155019

[0,08; 0,56]

X	0,08	0,176	0,272	0,368	0,464	0,56
F(x)	0,916803	0,976159	0,99960	0,986384	0,9368782	0,8529404

[0,176; 0,368]

X	0,176	0,2144	0,2528	0,2912	0,3296	0,368
F(x)	0,976159	0,989935	0,997875	0,999932	0,996094	0,986384

[0,2528; 0,3296]

X	0,2528	0,26816	0,28352	0,29888	31424	0,3296
F(x)	0,997875	0,999405	0,999992	0,999636	0,998336	0,996094

Ответ:F(x)= 0,999992, при х=0,28352

2. Метод деления отрезка пополам.

Дана функция R(x)=Sin(2x+1)

Найти максимум функции на интервале: [-1;2]. Ошибка задается по х: Е=0,04

Результаты расчетов:

Середина отрезка х₀ = 0,5

Значения критерия R₀=0,909297

Значение R(0.5-Е/2)=R(0.48)=0.925211

Значение R(0.5+Е/2)=R(0.52)=0.891928

Следовательно, искомый максимум лежит в левой половине отрезка, то есть теперь отрезком является [-1;0.5].

Далее приведем координаты середины отрезков с номером итерации, значение критерия в них и указывается новый отрезок (правый или левый).

№ итерации	х	R/x	отрезок
1	X1= -0,25	R1= 0,479425	Правый
2	X2=0,125	R2=0,948984	Правый
3	X3=0,3125	R3=0,998531	Левый
4	X4=0,21875	R4=0,991129	Правый
5	X5=0,265625	R5= 0.999218	Правый
6	Х6=0,2890625	R6=0.999973	Левый
7	Х7=0,27734375	R7=0.999870	Правый

(х₆-х₇)<E, поэтому решение находиться в области найденных значений или середину между ними.

3. Метод золотого сечения

Найти экстремум ,при =

А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04

№	Х1(с)	Х2(d)	У1(sin(c))	У2sin(d)	b-а=Е
1	0,215384	0,784615	0,990112	0,541619	0,569231
2
3
4	0,2475	0,3104	0,06	0,0182	0,1646
5	0,2087	0,2475	0,064	0,0694	0,1017
6	0,1846	0,2086	0,0606	0,0640	0,0628
7	0,1697	0,1846	0,0586	0,0606	0,0388

Х=0,1652

4. МЕТОД КУБИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Найти минимум функции методом кубической интерполяции.

х⁰=1; ; ; .

1. Зададим х⁰=1; ; ;.

2. Вычислим ; .

3. Так как , то . Вычислим . Поэто­му , M = 1.

4⁰. Положим , и вычислим

; ;

;

5⁰. Вычислим

; ;

; ; .

6⁰. Проверим условие убывания. Так как , то пере­ходим к шагу 7.

7⁰. Проверим условие окончания: . Условие не выполняется. Так как справедливо , то ; . Переходим к шагу 5.

5¹. Вычислим , ; ; ; .

6¹. Проверим условие убывания. Так как , то переходим к шагу 7.

7¹. Проверим условия окончания: (выполняется) и (выполняется). Поэтому расчет окончен и . Точная координата точки минимума , откуда следует, что применение кубической интерполяции даёт лучший результат, чем применение квадратичной интерполяции.