Тема: Нахождение опорного (базисного) решения методами Гаусса и м-базиса

1. Цель работы

   1. Изучить метод нахождения опорного плана методом Гаусса.

   2. Изучить метод нахождения опорного плана методом М-базиса.

2. Теоретические сведения

Для решения задач линейного программирования существуют специальные методы. Общим методом решения всех этих задач является симплексный метод.

Принцип нахождения оптимального решения в симплексном методе состоит в следующем. ОЗЛП записывается в канонической форме. Т.е. все переменные неотрицательны, все ограничения имеют вид уравнений, целевая функция стремится к мин. (Если необходимо получить макс. то целевую функцию умножают на –1).

Область, описываемая линейными уравнениями, представляет собой многогранник в пространстве n переменных. Оптимальное решение задачи соответствует одной из вершин этого многогранника.

Если система m независимых линейных уравнений с n переменными совместима (n>m), то она имеет множество решений. В этих решениях количество переменных (n-m) могут принимать произвольные значения (их называют свободными переменными), а остальные m переменных, которые выражают через свободные, называют базисные переменные.

Базисным решением называют такое, в котором все свободные переменные равны нулю. Если при этом базисные переменные оказываются неотрицательными, то это решение называется опорным.

Алгоритм симплекс-метода состоит из двух этапов

отыскания опорного решения

отыскание оптимального решения

Для получения начального опорного решения используются два способа

• метод Гаусса(метод последовательного исключения переменных)

• способ искусственного базиса или М-базиса.

2.1 Метод Гаусса

В канонической форме линейной задачи базисными переменными возьмем дополнительные переменные. Для получения базисного решения, все оставшиеся свободные переменные приравняем к нулю. Получим систему m уравнений с m переменными. Данную систему можно решить методом Гаусса (метод исключения). Он состоит в следующем:

• Систему уравнения приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это называется прямым ходом.

• Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок – обратный ход

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования :

• Деление или умножение коэффициентов и свободных членов на одно и то же число

• Сложение и вычитание уравнений

• Перестановку уравнений системы

• Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю

Пример.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

5х₁ - х₂ + 2х₃ =8

х₁ + 4х₂ - х₃ = - 4 (1)

х₁ + х₂ + 4х₃ = 4

Исключим, сначала неизвестное х₁ из 2-го и 3-го уравнения системы (1), используя первое уравнение.

Уравнение, с помощью которого преобразуют остальные уравнения называют разрешающим уравнением, а коэффициент этого уравнения при исключаемом неизвестном, называют разрешающим (главным) элементом.

В примере разрешающее уравнение первое, разрешающий элемент равен 5.

Разделим первое уравнение на 5 и вычтем из первого и третьего уравнений системы. Получим систему (2)

х₁- (1/5)х₂ + (2/5)х₃ = 8/5

(21/5) х₂ - (7/5)х₃ = - (28/5) (2)

(6/5)х₂ + (18/5)х₃ = (12/5)

Теперь второе уравнение будет разрешающим с разрешающим элементом (21/5). Разделим второе уравнение системы (2) на (21/5), получим второе уравнение. Умножим его на (6/5) и вычтем преобразованное второе уравнение из третьего. Получим систему (3):

х₁ - (1/5)х₂ + (2/5)х₃ = 8/5

х₂ - (1/3)х₃ = - (4/3) (3)

х₃ = 1.

Эти преобразования являются прямым ходом в методе Гаусса.

Умножим третье уравнение на (1/3) и вычтем его из второго. Затем третье уравнение умножим на (2/5) и вычтем его из первого. Получим систему (4):

х₁ - (1/5)х₂ = 6/5

х₂ = - 1 (4)

х₃ = 1.

Далее умножим второе уравнение системы (4) на (-1/5) и вычтем его из первого уравнения. Окончательно имеем систему (5):

х₁ = 1

х₂ = - 1 (5)

х₃ = 1.

Это и есть решения системы (1).

Выполнение подстановок – обратный ход метода Гаусса.

Как видно из примера мы все преобразования выполняем с коэффициентами при неизвестных.

В общем случае

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁;

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2nx_n =b₂;

………………………….

a_n1x₁+ a_n2x₂+…+ a_nnx_n =b_n;

Алгоритм отыскания решения системы m линейных уравнений методом Гаусса, с помощью ЭВМ, имеет следующие основные шаги:

1. коэффициенты а_ij и свободные члены b_i системы размещаются в памяти ЭВМ в форме матрицы

а₁₁ а₁₂ … а_1n a_{1 n+1}

а₂₁ а₂₂ … а_2n a_{2 n+1}

А= ………..…………………

а _n1 а_n2 … а_nn a_{n n+1}

где а_1,n+1= b_{1 …}

2. ищем максимальный по модулю коэффициент в столбце.

3. переставляем к-тую строку с первой строкой, содержащей максимальный коэффициент.

4. Преобразовываем все коэффициенты к–той строки путем деления на максимальный.

5. Преобразовываем с помощью к-той строки остальные строки к+1 - n.

6. Выполняем обратный ход Гаусса. Высчитываем значения переменных.

7. Построим опорный план, используя метод Гаусса

Пример.

Коммерческое предприятие реализует три группы товаров (А, В, С). Плановые нормативы затрат ресурсов на 1т в рублях товарооборота, доход от продажи товаров на 1 т в рублях товарооборота, а так же объем ресурсов заданы. Определить плановый объем продаж и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальным.

Плановые нормативы затрат ресурсов. Таблица 1

Виды ресурсов	Нормы затрат на 1т в рублях товарооборота.			Объем ресурсов
	А	В	С
Рабочее время продавцов Площадь торговых залов Площадь складских помещений Доход	0,1 0,05 3 3	0,2 0,02 1 5	0,4 0,02 2 4	1100 120 8000 макс.

Запишем математическую модель:

х₁, х₂, х₃- количество продаваемых товаров.

Доход (целевая функция) определяется:

F(X) =max(3х₁+ 5х₂+ 4х₃)

При условии:

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0;

и ограничениях:

0,1х₁ + 0,2х₂ + 0,4х₃ ≤ 1100

0,05х₁ + 0,02х₂ + 0,02х₃ ≤ 120

3х₁ + х₂ + 2х₃ ≤ 8000

Для построения первого опорного плана приведем запись ОЗЛП в канонической форме:

F(X)=max(3х₁ + 5х₂ + 4х₃)

При условии:

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0;

и ограничениях

0,1х₁ + 0,2х₂ + 0,4х₃ + х₄ = 1100

0,05х₁ + 0,02х₂ +0,02х₃ + х5 = 120

3х₁ + х₂ + 2х₃ + х₆ = 8000

Запишем математическую модель в векторном виде:

F(X) =max(C•X) где С = (3 5 4 0 0 0 ) – вектор-строка из коэффициентов целевой функции

х₁

х₂

Х= х₃- вектор-столбец переменных

х₄

х₅

х₆

при условии: вектор Х ≥ 0

и ограничениях: А• Х= Р⁰,

где матрица:

0,1 0,2 0,4 1 0 0 1100

А= 0,05 0,02 0,02 0 1 0 Р⁰= 120

3 1 2 0 0 1 8000

Находим первый опорный план.

Базисные переменные: х₃; х₄; х₅.

Свободные переменные: х₁=0; х₂=0; х₃=0;

В этом случае значения базисных переменных равны значениям свободных членов. Построим таблицу:

Коэффициенты целевой функции			3	5	4	0	0	0
План	Базисные переменные	Значения базисных переменных	х1	х2	х3	х4	х5	х6	zi
1	х4 x5 x6	1100 120 8000	0,1 0,05 3	0,2 0,02 1	0,4 0,02 2	1 0 0	0 1 0	0 0 1
Индексная строка	F(X)	0	- 3	- 5	-4	0	0	0