Коэффициент прозрачности, коэффициент отражения от барьера.

Введем в рассмотрение коэффициент отражения и коэффициент прозрачности.

Коэффициент отражения обозначается и равен отношению вектора плотности тока отраженной волны к вектору плотности тока падающей волны:

(7.20)

Коэффициент прозрачности , или коэффициент прохождения частицы через барьер, равен отношению вектора плотности тока прошедшей волны к вектору плотности тока падающей волны:

(7.21)

Из закона сохранения числа частиц сумма коэффициентов отражения и прозрачности должна быть равна единице.

=

=

«–» говорит о том, что отраженный от барьера поток частиц распространяется в обратном направлении оси .

- коэффициент отражения численно равен квадрату амплитуды отраженной волны.

=

=

- коэффициент прозрачности равен квадрату модуля амплитуды волны, прошедшей через барьер.

Нас интересует случай, когда полная энергия частицы меньше высоты барьера.

- мнимое, т.к. под знаком корня отрицательное число.

(***)

В этом случае:

(7.23)

Рассмотрим случай, когда , тогда .

(7.24)

(7.25)

(7.26)

(7.27)

Из (7.27) видно, что коэффициент прозрачности определяется

экспоненциальным множителем. При этом мал для широких барьеров, для больших масс и для больших дефицитов энергий, т.е. для больших разностей . Однако, туннельный эффект будет иметь заметное значение, если коэффициент прозрачности будет не слишком мал, т.е. когда показатель экспоненты порядка единицы.

Рассмотрим пример. Пусть дефицит энергии Дж. Частица – электрон, кг. Ширина барьера м. Если посчитать , то показатель экспоненты будет равен единице. Если увеличить хотя бы один параметр, то будет порядка и практически стремится к нулю.

Потенциальный барьер произвольной формы. Парадокс туннельного эффекта.

Рассмотрим барьер произвольной формы, при котором потенциальная энергия отлична от нуля, а на бесконечности стремится к нулю.

Знаем, что любой барьер произвольной формы можно представить как совокупность прямоугольных барьеров, состыкованных один с другим.

Ширину прямоугольных барьеров выберем бесконечно малой, равной

Для -того барьера прямоугольной формы можно посчитать:

Знаем, что вероятность прохождения частица через барьер произвольной формы равна произведению вероятностей прохождения частицы через каждый из элементарных барьеров прямоугольной формы. Тогда общий коэффициент прозрачности:

Сумма экспонент дает интеграл, т.е.

(7.28)

и определяется из условия, что в этих точках полная энергия равна потенциальной .

Примером квантового туннелирования может служить самопроизвольный распад радиоактивных элементов с испусканием -частиц. Классический пример – распад урана.

Уран с течением времени самопроизвольно распадается и при этом испускаются -частицы. Покажем графически потенциальную энергию -частицы в ядре.

Заряд -частицы равен .

Заряд электрона равен .

Полная энергия электрона положительна и имеет меньшее значение, чем потенциальная энергия кулоновского взаимодействия -частицы с ядром при .

Чтобы -частице вырваться из ядра ей необходимо преодолеть барьер. Вероятность частицы выйти за пределы ядра может быть рассчитана по формуле туннельного эффекта (7.28).

Полученный теоретически коэффициент прозрачности совпадает с экспериментальными данными.

Вторым примером квантового туннелирования является холодная эмиссия электронов из металла.