Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Киселева Г.А. Математика часть 3

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
416.05 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Методические указания по подготовке к контрольным работам

Часть 3

Учебно-методическое пособие

Специальности: 080507 Менедж-

мент организации; 080500 Менеджмент; 080504 Государственное и муниципальное управление; 080505 Управление персоналом

ЧЕРЕПОВЕЦ

2012

1

Рассмотрено на заседании кафедры математики, протокол № 3 от 20.10.11 г. Одобрено редакционно-издательской комиссией ФОМ и ЕНД ФГБОУ ВПО

ЧГУ, протокол № 1 от 25.10.11 г.

Составитель: Г.А. Киселева

Рецензенты: Н.О. Сорокина, канд. физ.-мат. наук, доцент (ЧГУ); О.А. Кашинцева, канд. тех. наук, доцент (ЧГУ)

Научный редактор: Н.В. Плотникова, канд. физ.-мат. наук, доцент

© Киселева Г.А., 2012

© ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет», 2012

2

Введение

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов экономических специальностей дневной и заочной форм обучения.

Пособие содержит решения примерных вариантов контрольных работ и краткие теоретические сведения по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения».

Задания в контрольных работах составлены с учетом требований Государственного стандарта по специальностям: 080507 «Менеджмент организации», 080500 «Менеджмент», 080504 «Государственное муниципальное управление», 080505 «Управление персоналом».

Пособие поможет студентам самостоятельно подготовиться к контрольным работам, восполнить обнаруженные пробелы в знаниях.

Контрольная работа 3.1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Краткие теоретические сведения

1. Определение функции двух и более переменных

Если каждой паре (x; y) значений двух независимых переменных из области D соответствует по некоторому правилу f единственное значение z из Z, то говорят, что z = f(x; y) – функция двух перемен-

ных x и y.

Совокупность пар (x; y), при которых определена функция z = f(x; y), называют областью определения функции двух перемен-

ных.

3

Если каждую пару (x; y) изображать точкой на плоскости, то область определения – совокупность точек на плоскости (или вся плоскость).

Примеры.

1)z = x2 + y2 . Область определения – вся плоскость.

2)z = 1 - x2 - y2 .

1- x2 - y2 ³ 0 или

x2 + y2 £1.

Область определения – круг с центром в начале координат и радиусом равным 1.

Если каждой совокупности (x1; x2; …; xn) значений n-независимых переменных из пространства Rn соответствует по некоторому правилу f единственное значение z из Z, то говорят, что z = f(x1; x2; …; xn) – функция n – независимых переменных.

Способы задания функции нескольких переменных те же, что и для функции одной переменной. Наиболее распространенный – аналитический.

Геометрическое изображение

Функция одной переменной изображается на плоскости в виде линии y = f(x).

Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z = f(x; y).

Примеры.

1)z – 2x + 5y + 10 = 0 – уравнение плоскости. Данная плоскость – график функции z = 2x – 5y – 10.

2)x2 + y2 + z2 = R2 – уравнение сферы , радиуса R , с центром в начале координат. С другой стороны, сфера есть объединение гра-

фиков двух функций z = R2 - x2 - y2

и

z = - R2 - x2 - y2 .

График функции двух переменных

геометрическое место точек

(x; y; f(x; y)).

 

 

4

 

 

Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому существует ещё способ изображения функции двух переменных, основанный на сечении поверхности z = f(x; y) плоскостями z = C, где C – любое число, то есть плоскостями, параллельными OXY.

Множество точек, в которых функция z = f(x; y), принимает одно и то же значение C, называют линией уровня функции. C уро-

вень.

Если взять числа c1, c2, , cn, образующие арифметическую прогрессию с разностью h, то получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можем получить представление о графике функции, то есть о форме поверхности. Там, где линии располагаются «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность идет круче), а в тех местах, где линии уровня располагаются реже, функция изменяется медленнее (поверхность более пологая). Чем меньше h, тем точнее представление о графике функции.

Пример.

 

Построить линии уровня функции z = x2 + y2 .

 

x2 + y2 = c (0 ≤ с < +∞).

у

Придавая с различные значения, получим

семейство линий уровня, представляющих со-

0

бой концентрические окружности.

При с = 0 окружность вырождается в точку (0; 0). Так как в данном случае линии уровня – окружности с центром в начале координат, то

графиком функции должна быть поверхность вращения вокруг оси OZ. Из аналитической геометрии известно, что уравнение z = x2 + y2 определяет параболоид вращения.

Замечание. Функцию трех или более переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно.

5

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Большая часть понятий анализа, определённых ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух пе-

ременных.

 

 

 

 

 

Введём понятие δ-окрестности точки M0(x0; y0).

 

 

 

Множество

{ M (x; y)} всех точек, координаты x

и y

которых

 

 

 

 

 

удовлетворяют

неравенству

(x x )2 + ( y y )2

< δ

или

 

 

0

0

 

 

ρ(M; M0) < δ, называется δ-окрестностью точки M0(x0; y0).

 

Или δ-окрестность точки M0

это все точки, лежащие внутри

круга с центром M0 радиуса δ.

 

 

 

 

Число А называется пределом

функции z =

f(x; y)

в точке

M0(x0; y0), если для всех ε > 0, существует δ > 0 такое, что

для всех

M(x; y), удовлетворяющих условию 0 < ρ(M; M0) < δ, выполняется неравенство | f(x; y) – А | < ε. Или:

lim ; = > 0 = > 0| ; :

→ →

0 < − + − < | ; − | < #.

Используя определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функции одной переменной на функции двух переменных.

Аналогично, как для функции одной переменной вводится бес-

конечно малая функция.

 

Функция f(x; y) – бесконечно малая в точке

(x0; y0)

lim f (x; y) = 0

xx0 yy0

Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке (x0; y0), если

lim f (x; y) = f (x0 ; y0 ) .

xx0 yy0

Дадим аргументу x – приращение ∆x,

аргументу у – приращение

∆у, тогда функция получит приращение

∆z = f(x0 + ∆x; y0 + ∆y)

– f (x0; y0) – полное приращение функции

z = f(x; y) в точке (x0; y0).

6

 

Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке (x0; y0), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆у соответствует

бесконечно малое приращение функции в этой точке: lim z = 0.

x→0 y→0

3. Частные производные

Полное приращение функции в точке (x; y):

∆z = f(x + ∆x; y + ∆y) – f (x; y).

Если задать приращение аргументу x, а значение y оставить неизмененным, то функция получит

x z = f (x + x; y) − f (x; y) – частное приращение по переменной x.

Аналогично,

y z = f (x; y + y) − f (x; y) – частное приращение по переменной у.

Если существует предел отношения частного приращения по независимой переменной к приращению этой переменной при стремлении последнего к 0, то этот предел называют частной производной по рассматриваемой переменной, то есть

lim

x z

=

=

f

=

z

 

 

 

 

 

частная производная по х;

x→0

x

 

 

 

 

x

 

x

 

 

y z

=

=

f

=

 

z

 

lim

 

 

 

 

частная производная по у.

 

 

 

 

y

= zy

f y

y

 

 

у→0

 

 

 

 

 

 

y

 

Из определения следует, что частные производные функции двух переменных представляют собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной. Поэтому вычисляют частные производные по правилам вычисления производной функции одной переменной.

Примеры.

Найти частные производные функций:

1) z = x2 2xy2 + y3, z' = 2x – 2y2

,

z' = -4xy + 3y2.

x

 

y

7

2) z = arctg

x

z¢x

=

1

 

 

×

1

 

z¢y

 

1

 

 

 

 

x

 

 

,

 

 

 

 

 

 

,

=

 

 

 

 

×

-

 

 

.

 

 

 

 

2

y

 

 

2

y

2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

x

 

 

 

 

 

 

 

1 +

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

3) z = x2 siny,

 

z' = 2x siny,

 

 

z' = x2 cosy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Дифференциал функции двух переменных

Определение дифференцируемой функции двух переменных

Ранее давали понятие δ-окрестности точки – круг с центром в этой точке и радиусом δ. Просто окрестность точки – произвольная область, содержащая точку.

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности

точки М0(x0; y0).

Функция z = f(x; y) называется дифференцируемой в точке М0 (x0; y0), если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

∆z = f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) – f (x0; y0)=

= A∆x + B∆y + α(∆x; ∆y) ∆х +β (∆x; ∆y) ∆у,

где А, В – постоянные числа, α(∆x; ∆y), β(∆x; ∆y) бесконечно малые функции при ∆x → 0, ∆y → 0.

Теорема 1. Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке М0 (x0; y0), то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2. Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке М0 (x0; y0), то она имеет в этой точке частные производные, причем fx'= A, fy' = В.

Обратные утверждения к представленным выше теоремам неверны.

8

Замечание. Для функции одной переменной понятия дифференцируемости и существования производной равнозначны. Для функции двух переменных – нет.

Теорема 3. (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция z = f(x; y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки М0(x0; y0), и эти производные непрерывны в самой точке М0, то функция z = f(x; y) дифференцируема в точке

М0.

Следствие. Из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции.

Дифференциал функции

Дифференциалом dz функции двух переменных z = f(x; y) называется главная, линейная относительно ∆x и ∆y , часть полного приращения функции.

Если ∆z = A∆x + B∆y + α(∆x; ∆y) · ∆х + β(∆x; ∆y) · ∆у, то dz =

= A∆x + B∆y.

 

 

 

 

Так как fx'= A, fy' = В,

то dz = fx' ·∆x + fy' ·∆y.

Можно показать, что dx =∆x, dy = ∆y.

 

 

 

Таким образом

f 'dy, или dz = z dx +

z

 

dz = f 'dx +

dy.

 

x

y

x

y

 

 

Применение дифференциалов к приближенным вычислениям

При достаточно малых ∆x и ∆y: ∆z ≈ dz

f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) – f (x0; y0) ≈ fx' (x0; y0∆x + fy'(x0; y0) · ∆y, или

f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) ≈ f(x0; y0) + fx' (x0; y0) ∆x + fy'(x0; y0) ∆y

9

Пример.

Вычислить ln (4, 02 - 0,96 ).

Рассмотрим функцию z = ln( x y ).

x0 = 4, ∆x = 0,02;

y0 = 1,

∆y = -0,04.

 

 

 

 

 

z¢x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 0

=

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

= 0, 25.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

-

y 2 x

 

 

 

 

 

 

 

2 -1 2

×

2

 

z¢

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

×

 

 

1

 

= -0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

×

-

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x -

y

 

 

 

 

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

2 -1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln (

 

 

-

 

 

)

 

 

 

 

ln (

 

 

-

 

 

 

 

4, 02

0,96

 

 

 

4

 

1) + 0, 25 × 0, 02 + (-0,5) × (-0, 04)) =

=0,005 + 0,02 = 0,025.

5.Частные производные

идифференциалы высших порядков

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки М (x; y) и пусть в каждой точке этой окрестности существуют

z'x и z'y.

z'x, z'y также функции двух переменных. Если они дифференцируемы, то можно найти их частные производные:

′ ′

′′

,

′ ′

′′

,

′ ′

′′

,

′ ′

′′

(zx )x

= zxx

(zx ) y

= zxy

(zy )x

= z yx

( z y ) y

= z yy .

Частной производной n-ого порядка функции нескольких пере-

менных называется частная производная 1-го порядка от частной производной (n – 1)-го порядка той же функции.

Частные производные по различным переменным – смешанные производные.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Примеры.

Найти частные производные второго порядка для функций:

10