Киселева Г.А. Математика часть 3
.pdf
u = x2
2
Тогда
+ C |
|
|
|
|
x |
2 |
|
y = u × v = |
|
||
2 |
|||
|
|||
+ C × ex - общее решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Проверка: |
подставим |
|
y = |
|
|
|
+ C |
× ex |
в исходное уравнение |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y¢ - y = xex |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
¢ |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||
|
|
+ C |
× ex + |
|
|
|
+ C |
(ex ) |
- |
|
|
|
+ C |
× ex = xex |
|||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x × ex + |
|
+ C ex |
- |
|
+ C |
× ex = xex |
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xex |
= xex – |
верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y = |
x |
|
|
+ C |
× ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3
Решить задачу Коши: y′′ − 6 y′ = 0, y (2) = 1, y′(2) = 0.
Решение
y′′ − 6 y′ = 0 - ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение: k 2 − 6k = 0
k (k - 6) = 0
k1 = 0, k2 = 6 Тогда общее решение имеет вид:
yOO = C1ek1 x + C2ek2 x = C1e0×x + C2e6 x = C1 + C2e6 x
Найдем производную:
41
|
′ |
|
6 x |
′ |
|
|
6 x |
|
yOO = (C1 + C2e |
= 6C2e |
|||||||
|
) |
|
||||||
Подставим начальные условия y (2) = 1, y′(2) = 0. |
||||||||
1 = C + C e6×2 |
|
|
C = 1 |
|||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|||
0 = 6C2e6×2 |
|
|
|
{C2 = 0 |
||||
y = 1 – |
частное решение, удовлетворяющее заданным началь- |
|||||||
ным условиям.
Ответ: y = 1.
Задача 4
Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ + 2 y′ + 2 y = 1 + x.
Решение
Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Составим соответствующее ЛОДУ: y′′ + 2 y′ + 2 y = 0.
Тогда характеристическое уравнение будет: k 2 + 2k + 2 = 0.
D = 4 − 8 = − 4 = 4i2
k1 = −1 − i, k2 = −1+ i .
Следовательно, yOO = eax (C1 cosβx + C2 sin βx) =
= e-x (C1 cos x + C2 sin x) – общее решение однородного уравнения.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. |
Так как |
|
f ( x) = 1 + x, |
то частное решение yЧН будем искать |
в виде: |
yЧН = Ax + B |
(α = 0, β = 0, n = 1, S = 0). |
|
′ |
′′ |
|
yЧН = A, |
yЧН = 0. |
|
42
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′′ |
|
|
в исходное уравнение для нахождения |
||||||||
Подставим yЧН, yЧН, yЧН |
||||||||||||||||||||
неопределенных коэффициентов: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 + 2 × A + 2 ×( Ax + B) = x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2A + 2Ax + 2B = x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
{2 A = 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
2 A + |
2B = 1 |
B = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, y |
|
= |
1 |
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ЧН |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как y |
|
= y |
|
+ y |
|
|
|
, |
то |
y |
= e− x (C cos x + C sin x) + |
1 |
x |
– |
||||||
ОН |
ОО |
ЧН |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OН |
1 |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
общее решение исходного уравнения.
Ответ: yOН = e− x (C1 cos x + C2 sin x) + 1 x. 2
Задача 5
Указать вид общего решения, не находя неопределенных коэф-
фициентов: y′′ + 4 y′ + 4 y = x2 − 8 + 12sin 2x.
Решение
Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Соответствующее ЛОДУ имеет вид:
y′′ + 4 y′ + 4 y = 0.
Характеристическое уравнение:
k 2 + 4k + 4 = 0
D = 0
k1 = k2 = -2.
43
Тогда y |
|
= ekx (C + C x) = e−2 x (C + C |
2 |
x) – общее решение од- |
|||||
OO |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
||
нородного уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем частное решение неоднородного уравнения. |
|||||||||
f ( x) = x2 − 8 + 12sin 2x |
|
|
|
|
|||||
f ( x) = x2 |
− 8, |
f |
2 |
( x) = 12sin 2x |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
f |
( x) = x2 |
− 8 , то y |
ЧН |
= Ax2 |
+ Bx + C |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(α = 0, β = 0, n = 2, S = 0).
Так как f2 ( x) = 12sin 2x , |
то yЧН |
2 |
= D cos 2x + E sin 2x |
|
||||||||
(α = 0, β = 2, n = 0, S = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f ( x) = f1 ( x) + f2 ( x), |
поэтому |
yЧН = yЧН + yЧН |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
= Ax2 + Bx + C + D cos 2x + E sin 2x |
|
|
y = e−2 x (C + C x) + Ax2 |
|
||||||||
Так как, |
y |
ОН |
= y |
ОО |
+ y |
ЧН |
, |
то |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ОН |
1 2 |
|
|||
+ Bx + C + D cos 2x + E sin 2x |
– общее решение исходного уравне- |
|||||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y |
= e−2 x (C + C x) + Ax2 |
+ Bx + C + D cos 2x + E sin 2x. |
|
|||||||||
ОН |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Список литературы |
|
|
|
Основная литература |
1. |
К р е м е р Н . Ш . Высшая математика для экономистов: Учебник. – |
||
М.: ЮНИТИ, 2000. |
|
|
|
2. |
Ш и п а ч е в |
В . С . Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: |
|
Высш. шк., 2001. |
|
|
|
|
|
|
Дополнительная литература |
1. |
М и н о р с к и й |
В . П . Сборник задач по высшей математике: Учеб. |
|
пособие для втузов. – |
М., 2004. |
||
2. |
Ш и п а ч е в |
В . С . Задачник по высшей математике. – М.: Высш. шк., |
|
2001. |
|
|
|
|
|
|
44 |
Оглавление
Введение ...................................................................................................... |
3 |
Контрольная работа 3.1. Дифференциальное исчисление функций |
|
нескольких переменных .................................................................................. |
3 |
Контрольная работа 3.2. Дифференциальные уравнения .................... |
21 |
Список литературы ..................................................................................... |
44 |
Печатается в авторской редакции Технический редактор М.Н. Авдюхова Лицензия А № 165724 от 11.04.06 г.
Подписано в печать 15.03.12 г. Формат 60 × 84 1/16 . Гарнитура таймс. Уч.-изд. л. 1,5. Усл. п.л. 3,2. Тир. 4. Зак.
ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет» 162600 г. Череповец, пр. Луначарского, 5.
45