Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Киселева Г.А. Математика часть 3

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
416.05 Кб
Скачать

Контрольная работа 3.2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Краткие теоретические сведения

1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение,

связывающее независимую

переменную х, искомую функцию

′ ′′

 

,

, … ,

3

. Символически ДУ можно за-

y = y(x) и ее производные

 

′′

 

 

писать в виде: 45 , , , , … , 36

= 0.

 

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Примеры.

 

 

− первого

порядка

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

0 ∙ − sin ∙

 

 

 

 

 

2 + 5 = 0

′′

ДУ ДУ второго порядка

 

называется всякая функция, которая при подста-

Решением ДУ

 

 

 

 

 

.

новке в уравнение обращает его в=тождество, A , A. ,Общим… , A решением ДУ называется такое его решение φ B 3 , которое является функцией переменной х и n произвольных независимых постоянных С1, С2, …, Сn (независимость постоянных – отсутствие ка- ких-либо соотношений между ними). Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значенияхФ , , Aпостоянных, A , … , A .=Если0 общее решение записано в неявном виде B 3 , то его называют

общим интегралом.

Задача о нахождении решения некоторого ДУ называется задачей интегрирования данного ДУ. График решения ДУ называется интегральной кривой. Графики всех решений представляют собой

семейство интегральных кривых.

21

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное

уравнение первого

порядка имеет вид

4 , , = 0, где х – независимая переменная,

у – искомая функция,

y’ – ее производная.

Иногда в ДУ первого порядка встречается

другая запись производной: DD.

 

Если ДУ первого порядка можно разрешить относительно производной, то его можно записать в виде: = ; .

Теорема Коши (теорема существования и единственности ре-

шения ДУ). Если функция f (x; y) и ее частная производная по y определены и непрерывны в некоторой области D плоскости хОу, то какова бы ни была внутренняя точка (x0; y0) области D, в некоторой окрестности этой точки существует и при том единственное решение ДУ y’ = f(x; y), удовлетворяющее условиям y = y0 при x = x0.

Условия y = y0 при x = x0 называют начальными условиями или условиями Коши. Иногда их записывают в виде:

|E = ,

( ) = .

Задача Коши – это отыскание решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям. С геометрической точки зрения, решить задачу Коши, значит, из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку плоскости.

Точки плоскости, через которые проходит более одной интегральной кривой или не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного ДУ.

Основные типы ДУ первого порядка

1. Уравнения с разделенными переменными.

Уравнением с разделенными переменными называется ДУ вида M(x)dx + N(y)dy = 0. Решается интегрированием

F G( )H + F I( )H = A.

22

Пример.

H + H = 0, J H + J H = A,

2 + 2 = A.

Семейство интегральных кривых представляет собой концентрические окружности с центром в начале координат.

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Это ДУ вида GB( )IB( )H + G ( )I ( )H = 0.

Решение

GB( )IB( )H = −G ( )I ( )H ;

KL D

= −

NM D

; F

KL D

= − F

NM D

K

N

K

N

M

 

L

 

M

 

L

Пример.

H − H = 0.

Решение

H = H

D = D , F H = F H, ln | | = ln | | + ln |A|

= A ∙ общее решение.

Семейство интегральных кривых представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат.

Замечание: Уравнением с разделяющимися переменными будет также уравнение вида: = B или DD = B ∙ .

23

3. Однородные уравнения.

Функция f(x, y) называется однородной функцией степени k от-

носительно переменных x и y, если при любом t справедливо тож-

дество f (tx, ty) = tk f( x, y).

Примеры.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y0;

 

 

 

 

1) f x, y = x0

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

= SB ∙ , .

 

 

 

 

+ 0

S , S = S 0 + S 0

= S 0

Следовательно, исходная функция является однородной первой степени.

2) , =

 

;

 

MT M

 

(S , S ) =

 

U ∙U

(U )MT(U )M = MT M = S ∙ ( , ).

Следовательно, исходная функция является однородной нулевой степени.

ДУ первого порядка y’ = f(x, y) называется однородным относительно переменных х и у, если функция f(x, y) является однородной функцией нулевой степени относительно переменных х и у.

Решение

По условию (S , S ) = ( , ), выберем S = B , тогда ( , ) = = V1, W = X V W.

Исходное уравнение примет вид = X V W.

= Y = Y, = Y + Y

Сделаем замену: или тогда (производ-

ная произведения). При этом исходное уравнение Y + Y= X(Y) будет уравнением с разделяющимися переменными.

24

Пример.

=

Ранее было показано, что функция в правой части является од-

нородной нулевой степени => данное уравнение однородное. Дела-

= Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ем замену: = Y + Y

 

 

∙ Y

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

Y + Y

= − Y

; Y

1 − Y − Y;

 

 

HY

=

Y − Y + Y0

;

(1 − Y

)HY

H

 

H

1 − Y

 

 

Y0

 

= ;

 

 

 

 

 

 

(1 − Y )HY

 

H

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

= J ;

 

 

 

 

 

 

 

Y0

 

 

 

1

 

Y

 

 

 

H

 

 

1

− ln|Y| = ln| | + ln|A|.

J Y0 HY − J Y0 HY = J

; −

2Y

Вернемся к замене = Y. Тогда, применив свойства логариф-

мов, получим

MM

= ln |A |

– общий интеграл (общее решение в

неявном виде).

Замечание: Однородным ДУ первого порядка будет также уравнение вида G , H + I , H = 0 в том случае, если функции M и N являются однородными= Y функциями одной степени. Решение также заменой , при этом H = YH + HY.

4. Линейные ДУ первого порядка Линейным ДУ первого порядка называется ДУ первого порядка,

линейное′ + [ относительно= неизвестной функции и ее производной: , где p(x), f(x)+заданные[ =непрерывные0 функции.

Если f(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным уравнением первого порядка (ЛОДУ первого порядка).

25

Если f(x) ≠0, то уравнением ′ + [ = называется линейным неоднородным уравнением первого порядка (ЛНДУ первого порядка).

ЛОДУ первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными.

Решение ЛНДУ будем искать в виде произведения двух функ-

ций y = u(x) · v(x) или

= \ ∙ ], тогда = \] + \]. Подставим

в исходное уравнение:

\′] + ]′\ + [( )\] = ( );

\′] + \(]′ +

+ [( )]) = ( ).

 

 

Функцию v выбираем произвольно, поэтому выберем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: ]′ + [( )] = 0, это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем функцию v, при этом C считаем равной 0. Далее найденную функцию v будем подставлять в последнее уравнение, получим: \′] = ( ) – это также уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем функцию u, при этом C некоторая постоянная. Вернувшись к замене y = u · v, получим общее решение исходного уравнения.

Пример.

∙ = ( + 1)0 это ЛНДУ, делаем замену

= \]

 

′ −

^B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

′ = \′] + \]

 

u¢× v + u × v¢ -

 

×u × v = (x +1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

u¢× v + u

v¢ -

 

 

 

 

 

 

× v = (x +13 )

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v¢ -

 

 

 

2

 

 

 

×v = 0- это уравнение с разделяющимися переменными

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

=

2

 

 

× v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

=

2

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

=

 

 

 

2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

x +1

 

 

 

ln

v

 

 

= 2ln

x +1

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = (x + 1)2 (считаем постоянную равной 0). Возвращаемся к исходному уравнению

 

2

= (x + 1)

3

;

u

= x +1

u (x + 1)

 

 

 

u = (x + 1)dx

 

 

 

 

 

 

u =

(x + 1)2

 

+ C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x +1)

2

 

 

 

 

 

y =

+ C × (x +1)2 – общее решение исходного уравне-

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния.

5. Уравнения в полных дифференциалах

Известно, что выражение M(x, y)dx + N(x, y)dy является полным дифференциалом некоторой функции тогда и только тогда, когда

выполняется следующее равенство частных производных: __K =

__N.

ДУ первого порядка вида M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется

уравнением в полных дифференциалах, если M и N непрерывные дифференцируемые функции, для которых выполняется: __K = __N.

Один из способов решения уравнений в полных дифференциалах состоит в том, что задаются произвольные x0, y0 (из области определения) и общий интеграл уравнения находится по одной из формул:

F G S, HS + F I , S HS = A, или F G S, у HS + F I , S = A

Пример.

R H + MT0a M H = 0,

27

 

 

2

 

bG

 

6

 

G =

0

=> b = −

c

,

 

 

− 3

bI

 

 

6

I =

 

c

 

=> b

= −

c .

Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Вы-

берем x0 = 0; y0 = 1.

F

U

HS + F UMT0a M

HS = С,

 

 

 

R

 

 

 

 

B

B

U

 

 

 

 

 

S | + V− B +

M

W | = A,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

UR

B

 

 

 

 

− 0 + V− B + MW − V− B

+

M

W = A,

 

 

 

 

 

 

R

B

 

R

 

 

 

 

 

B

B + RM + 1 = A,

 

 

 

 

 

 

1

= AB общий интеграл.

0

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ второго порядка имеет вид:

4( , , , ′′) = 0

Общее решение ДУ второго порядка имеет вид:

= φ( , AB, A ).

ДУ второго порядка вида ′′ + [( ) + e( ) = ( ) (1), где p(x), e( ), f(x) – непрерывные функции от х, называется линейным неод-

нородным ДУ второго порядка (ЛНДУ). Функции p(x) и q(x) назы-

вают коэффициентами уравнения. Если f(x) = 0, то уравнение

′′ + [( ) + e( ) = 0 (2), называется линейным однородным ДУ второго порядка (ЛОДУ). Если уравнение (2) имеет те же коэффициенты, что и уравнение (1), то уравнение (2) называется однород-

28

ным уравнением соответствующим неоднородному уравнению

(1).

Функции B = B и = ( ), определенные и непрерывные на

некотором интервале, называются линейно зависимыми на этом ин-

тервале, если существуют числа fB и f

(неравные одновременно

0) такие, что для всех х из рассматриваемого интервала выполняется тождество: fB B + f = 0. Если указанное тождество имеет место только при fB = f = 0, то функции y1 и y2 называют линейно не-

зависимыми.

Теорема 1 (об общем решении ЛОДУ второго порядка). Если

B( ) и ( ) линейно независимые частные решения ЛОДУ второго порядка ′′ + [( ) + e( ) = 0, то общее решение этого уравнения имеет вид = AB B + A , где AB и A – произвольные постоянные.

Замечание: условно данную

теорему можно

записать:

gg = AB Bчо + A чо («оо» – общее решение однородного уравне-

ния, «чо» – частное решение однородного уравнения).

 

Определителем Вронского (или

вронскианом)

двух

функций

 

B

 

B.

B( ) и ( ) называется определитель: i B

i = B

Теорема 2. Если функции линейно независимы на некотором интервале, то определитель Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

 

 

Пример.

 

 

 

 

у" − = 0

это ЛОДУ второго порядка.

 

 

Легко заметить, что его частными решениями будут

B( ) = k ,

( ) = kT .

 

k

 

Составим

для этих функций определитель Вронского:

 

kT

 

данные решения линейно незави-

l

 

−k

T l = −1 − 1 = −2 ≠ 0 =>

 

k

 

 

nn = ABk + A kT .

 

симы, тогда

 

 

 

 

 

 

29

Теорема 3 (об общем решении ЛНДУ второго порядка). Общее решение ЛДНУ второго порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения он = nn + чн («он» – общее решение неоднородного уравнения, «чн» – частное решение неоднородного уравнения).

В общем случае задача отыскания частного решения ЛНДУ является сложной. Можно найти частное решение методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соотвествующего ЛОДУ nn = AB B + A . Суть метода в том, что ча-

стное решение неоднородного

уравнения

будем искать в виде

чн = AB B + A , где

AB , A

– некоторые искомые

функции от х.

Находить будем подстановкой чн, ′чн, ′′чн в исходное уравнение. Будем подбирать AB( ), A ( ) так, чтобы

p AB( ) B( ) + A( ) ( ) = 0 AB( ) B( ) + A( ) ( ) = ( ).

Главный определитель системы является определителем Вронского для функций y1 , y2 , а так как они линейно независимы, то определитель Вронского отличен от нуля => система имеет единственное решение относительно C'1(x) и C'2(x). Далее, интегрируя, найдем C1(x) и C2(x) и можем получить учн и уон.

4.ЛОДУ второго порядка

спостоянными коэффициентами

ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет

вид:

′′ + [ + e = 0 ,

 

 

(1)

где p, q – некоторые действительные числа.

 

Уравнение

q + [q + e = 0

 

 

(2)

– называется характеристическим уравнением уравнения (1).

30