Киселева Г.А. Математика часть 3

Прямая, проходящая через точку М0 поверхности z = f(x; y) и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности.

Можно показать, что нормаль к поверхности z = f(x; y) в точке М0(x0; y0; f(x0; y0)) определяется уравнением (где z0 = f (x0; y0)):

Пример.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно-

Тогда касательная плоскость будет определяться уравнением:

7. Экстремум функции двух переменных

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности

точки М0(x0; y0).

М0(x0;y0) – точка локального максимума функции z = f(x; y), если существует такая окрестность точки М0, что для всех точек М (x; y) из этой окрестности выполняется: f(x; y) ≤ f(x0; y0).

12

М0(x0; y0) – точка локального минимума функции z = f(x; y), ес-

ли существует такая окрестность точки М0, что для всех точек М (x; y) из этой окрестности выполняется: f(x; y) ≥ f(x0; y0).

Точки локального максимума и локального минимума – точки локальных экстремумов.

Локальный характер экстремума – выполнимость вышеперечисленных условий лишь в некоторой окрестности точки.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке М0(x0; y0) и имеет в этой точке экстремум, то частные производные в этой точке равны 0:

z'x (x0; y0) = z'y (x0; y0) = 0.

Замечание. Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Точки, в которых частные производные равны 0 или не существуют, называются критическими точками. Точки экстремума следует искать среди критических точек.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности критической точки (x0; y0) и имеет в этой точке непрерывные частные производные

=A B = AC − B2 B C

1)∆ > 0, то в точке М0 функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем при А < 0 – локальный максимум, при А > 0 – локальный минимум;

13

2)∆ < 0, то в точке М0 экстремума нет;

3)∆ = 0, то точка М0 может быть, а может и не быть точкой экстремума. Необходимы дополнительные исследования.

Пример.

Найти точки экстремума функции z = x2 + xy + y2 – 2x – 3y. z'x = 2x + y – 2,

z'y = x + 2y – 3. 2x + y – 2 = 0 x + 2y – 3 = 0

y = 4/3 , x = 1/3.

Условный экстремум

Требуется найти экстремум функции z = f(x; y) при условии g (x; y) = 0. При этом z = f(x; y) называется целевой функцией,

g (x; y) = 0 – уравнением связи.

Экстремум – условный.

Функция g (x; y) предполагается известной.

Способы нахождения условного экстремума:

1) Метод подстановки

Из уравнения g (x;y) = 0 выражаем одну из переменных y = φ(x) и подставляем в функцию z = f(x; y) = f(x; φ(x)), получим функцию одной переменной.

Этот метод применим, когда уравнение связи легко разрешить относительно одной из переменных.

Пример.

Найти экстремум функции z = x2 – 3xy+ 12x при условии 6 –

– 2 x – 3y =0 .

14

простой способ анализа точки экстремума, вытекающий из самого определения.

Пусть (x0; y0) – точка условного экстремума, а f(x0; y0) – соответствующее значение целевой функции. Берется точка (x; y) близкая к точке (x0; y0) и вычисляется значение в ней целевой функции.

Если f (x; y) < f (x0; y0), то в точке (x0; y0) локальный максимум; если f (x; y) > f (x0; y0), то в точке (x0; y0) локальный минимум.

В настоящее время существует большое количество программных пакетов, позволяющих численно решать на компьютерах задачи как условной, так и безусловной оптимизации.

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1

Найти и изобразить область определения функции:

16

Задача 2

Найти приближенно изменение функции z = x3 - y2 при изменении x от 2 до 1,94, y от 2 до 2,06.

Решение

Найдем частные производные в точке М0 ( 2 ; 2).

Ответ: – 0,24.

17

Уравнение нормали имеет вид

Задача 5

Найти точки экстремума функции z = 4x3 +12x2 + 4 y3 +12 y2 + 4.

Решение

z′′x2 (−2; − 2) < 0 в точке (−2; − 2) – локальный максимум.

Ответ: функция z имеет в точке (0; 0) локальный минимум, в точке (−2; − 2) локальный максимум.

20