Методы математической обработки в психологии

fEтеор=17*0,53=9,01

fЖтеор=110,47=5,17

fЗтеор=11*0,53=5,83

Ясно, что сумма теоретических частот по строкам будет равняться сумме всех проявлений по данной строке. Например,

fАтеор+fБтеор=13.63+15,37=29 fВтеор+fГтеор=5,17+5,83=11 fДтеор+fЕтеор=7,99+9,01=17 и т.д.

При такого рода подсчетах лучше всякий раз себя проверить. Теперь мы можем вывести общую формулу подсчета fтеор для сопоставления двух или более эмпирических распределений:

Соответствующими строкой и столбцом будут та строка и тот столбец, на пересечении которых находится данная ячейка таблицы. Теперь нам лучше всего сделать развертку Табл. 4.5, представив все ячейки от А до Ж в виде первого столбца - это будет столбец эмпирических частот. Вторым столбцом будут записаны теоретические частоты. Далее будем действовать по уже известному алгоритму. В третьем столбце будет представлены разности эмпирических и теоретических частот, в четвертом - квадраты этих разностей, а в пятом - результаты деления этих квадратов разностей на соответствующие каждой строке теоретические частоты. Сумма в нижнем правом углу таблицы и будет представлять собой эмпирическую величину % (Табл. 4.6).

Таблица 4.6

Расчет критерия χ2 при сопоставлении распределений невербальных и вербальных признаков благосклонности невесты

Число степеней свободы при сопоставлении двух эмпирических распределений определяется по формуле:

v=(k-1)·(c-1)

где k - количество разрядов признака (строк в таблице эмпирических частот);

с - количество сравниваемых распределений (столбцов в таблице эмпирических частот).

В данном случае таблицей эмпирических частот является левая, эмпирическая часть таблицы 4.5, а не на ее развертка (Табл. 4.6). Количество разрядов - это количество женихов, поэтому k=4. Количество сопоставляемых распределений с=2. Итак, для данного случая,

v=(4 - l)(2 - t)=3

Определяем по Табл. IX Приложения 1 критические значения для ν=З:

Ответ: Н0 принимается. Распределения невербально и вербально выражаемых невестой предпочтений не различаются между собой.

Итак, Агафья Тихоновна весьма последовательна в проявлении своих предпочтений, хотя, по-видимому, сама этого пока не замечает.

Иллюстрация 2

Третий вариант развития шутливого примера: сопоставление встречных выборов

К сожалению, в этом пункте мы от комедии вынуждены перейти к драме - истинной драме любви. Ибо, судя по тексту пьесы, проявляемые женихами признаки влюбленности и симпатии по отношению к невесте отнюдь не соответствуют ее собственной системе предпочтений. У Ивана Павловича, а, главное, у Никанора Ивановича, которому невестой отдается столь явное предпочтение, проскальзывают в разговоре по большей части как раз отрицательные и задумчиво-неодобрительные отзывы о невесте: "Нос велик... Нет, не то, не то... Я даже думаю, что вряд ли она знакома с обхождением высшего общества. Да и знает ли она еще по-французски".

Благосклонных отзывов ("А сказать правду - мне понравилась она потому, что полная женщина" и т. п.) поступило:

от Никанора Ивановича - ни одного; от Ивана Кузьмича - 15* от Ивана Павловича - 6*

от Балтазара Балтазарыча - 18.

Определим число степеней свободы V по количеству строк k и столбцов с в левой части Табл. 4.7: (k=4, c=2).

v=(k-1)(c-1)

Критические значения χ2 для ν=3 нам уже известны:

Ответ: Н0 отвергается. Принимается H1. Распределение положительных отзывов предпочтений невесты не совпадает с распределением положительных отзывов женихов (ρ<0,01).

Итак, если бы Иван Кузьмич Подколесин не сбежал, Агафью Тихоновну могло бы ожидать не меньшее разочарование: предпочитаемЫЙ ею Никанор Иванович, "тонкого поведения человек", ее отвергает.

Мы не рассмотрели лишь третью группу возможных гипотез в методе χ2. Они, как мы помним, касаются сопоставлений одновременно 3 и более распределений. Принцип расчетов там такой же, как и при сопоставлении двух эмпирических распределений. Это касается и формулы расчета теоретических частот, и алгоритма последующих расчетов.

Рассмотрим особые случаи в применении метода χ2 .

Особые случаи в применении критерия

б) когда сопоставляются два эмпирических распределения, и количество разрядов признака равно 2, т.е. и количество строк k=2, и количество столбцов с=2, и ν=(k— l)*(c—1)=1.

Вариант "а": поправка на непрерывность при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным. Это тот случай сопоставлений, когда мы, говоря простым языком, проверяем, поровну ли распределились частоты между двумя значениями признака.

Пример с поправкой на непрерывность.

В исследовании порогов социального атома17 профессиональных психологов просили определить, с какой частотой встречаются в их записной книжке мужские и

16Поправка на непрерывность при ν=l предназначена для корректировки несоответствия между дискретным биномиальным распределением и непрерывным рас пределением (Рунион Р., 1982, с. 39.)

17Социальный атом "... состоит из всех отношений между человеком и окружающими его людьми, которые в данныймоменттемилиинымобразомснимсвязаны" (Moreno J. L., 1951.)

H1: Распределения мужских и женских имен в двух записных книжках различаются между собой. Теоретические частоты рассчитываем по уже известной формуле:

fтеор = (Суммачастотпо соотв−щей строке) * (Сумма частот по соотв−щему столбцу)

А именно, для разных ячеек таблицы эмпирических частот, fА ТЕОР=67*81/235=23,09

fБ ТЕОР =67*154/235=43.91 fВ теор=168*81/235=57,91

fГ теор=168*154/235=110,09

Число степеней свободы ν=(k—1)*(с—1)=1 Все дальнейшие расчеты проводим по алгоритму (Табл. 4.12)

Таблица 4.12

Расчет критерия при сопоставлении двух эмпирических распределений мужских и женских имен

Критические значения χ2 при ν=l нам известны по предыдущему примеру:

Ответ: Н0 принимается. Распределения мужских и женских имен в записных книжка двух психологов совпадают.

Поправки на непрерывность и всех остальных подсчетов можно избежать, если использовать по отношению к подобного рода задачам метод φ* Фишера (см. параграф 5.4).

Особый случай 2: укрупнение разрядов признака, который варьирует в широком диапазоне значений

Если признак варьирует в широком диапазоне значений, например, от 10 до 140 сек или от 0 до 100 мм и т. п., то вряд ли мы сможем принимать каждое значение признака за самостоятельный разряд:

10 сек, И сек, 12 сек и т. д. до 100 сек. Одно из ограничений критерия χ2 состоит в том, что теоретически на каждый разряд должно приходиться не менее 5 наблюдений: fтеор>5. Если у признака 90 значений, и каждое из них принимается за самостоятельный разряд, то необходимо иметь не менее 5*90=450 наблюдений! Если же наблюдений меньше 450, то придется укрупнять разряды до тех пор, пока на каждый разряд не будет приходиться по 5 наблюдений. Это не означает, что в ка-ждом разряде реально должно быть 5 наблюдений; это означает, что теоретически на каждый разряд их приходится по 5. Рассмотрим это на примере.

Пример с укрупнением разрядов признака

Тест Мюнстерберга для измерения избирательности перцептивного внимания в адаптированном варианте М.Д. Дворяшиной (1976) предъявлялся студентам факультета психологии Ленинградского университета (n1=156) и артистам балета Мариинского театра (n2=85). Материал методики состоит из бланка с набором букв русского алфавита, в случайном порядке перемежающихся. Среди этого фона скрыто 24 слова разной степени сложности: "факт", "хоккей", "любовь", "конкурс", "психиатрия" и т.п. Задача испытуемого возможно быстрее отыскать их и подчеркнуть (Дворяшина М.Д., 1976, с. 124). Совпадают ли распределения количества ошибок (пропусков слов) в двух выборках (Табл. 4.13)?

Таблица 4.13

Эмпирические частоты пропуска слов в тесте Мюнстерберга в двух выборках испытуемых (по данным М.Д. Дворяшиной, Е.В. Сидоренко, 1973)

Сформулируем гипотезы.

Н0: Распределения ошибок (пропусков слов) в выборках студентов и артистов балета не различаются между собой.

H1: Распределения ошибок (пропусков слов) в выборках студентов и артистов балета различаются между собой.

Прежде чем перейти к расчету теоретических частот, обратим внимание на последние 4 значения признака, от 6 пропусков и ниже. Очевидно, что fтеор для любой из ячеек последних 4 строк таблицы будет меньше 5. Например, для ячейки, отмеченной кружком:

fтеор = (Суммачастотпо соотв−ей строке) * (Сумма частот по соотв−ему столбцу)

fтеор=5*85/241=1,763

Полученная теоретическая частота меньше 5.

Для того, чтобы решить, какие разряды нам следует укрупнить, чтобы fтеор была не меньше 5, выведем формулу расчета минимальной суммы частот по строке по формуле:

Минимальнаясумма по строке = fтеор минимальная * (общее количество наблюдений)

В данном случае столбцом с наименьшим количеством наблюдений является столбец, относящийся к выборке артистов балета (n=85). Определим минимальную сумму частот для каждой строки: Минимальная сумма по строке =5*241/85=14,16 Мы видим, что для получения такой суммы нам недостаточно объединения последних 4 строк Табл. 4.13, так как сумма частот по ним меньше 14 (5+3+2+1=11), а нам

необходима сумма частот, превышающая 14. Следовательно, придется объединять в один разряд пять нижних строк Табл. 4.13: теперь любое количество пропусков от 5 до 9 будет составлять один разряд.

Однако это еще не все. Мы видим, далее, что в строке "4 пропуска" сумма составляет всего 8. Значит, ее необходимо объединить со следующей строкой. Теперь и 3, и 4 пропуска будут входить в один разряд. Все остальные суммы по строкам больше 14, поэтому мы не нуждаемся в дальнейшем укрупнении разрядов.

Эмпирические частоты по укрупненным разрядам представлены в Табл. 4.14.

Таблица 4.14

Эмпирические частоты пропуска слов по укрупненным разрядам в двух выборках испытуемых

Исследователю бывает огорчительно терять информацию, заведомо утрачиваемую при укрупнении разрядов. Например, в данном случае нас может интересовать, удалось ли сохранить специфический для второй выборки спад частот на 3 и 4 пропусках и резкий их подъем на 5 пропусках (Рис. 4.7).

Сравним графики на Рис. 4.7 и Рис. 4.8. Мы видим, что спад частот во второй выборке на 3-х и 4-х пропусках сохранился, а спад на 2-х пропусках в первой выборке стал еще более заметным. В то же время все возможные различия в частотах в диапазоне от 5-и до 9-и пропусков теперь оцениваются только глобально, по соотношению общих сумм частот в этих диапазонах. По графику на Рис. 4.8 мы уже не можем определить, какое максимальное количество пропусков встречается в первой группе и какое - во второй. Сопоставление распределений на этом конце становится более грубым.

Если бы у нас было больше испытуемых в выборке артистов балета, то, возможно, удалось бы сохранить подъем частоты на 5-и пропусках. Сейчас же нам придется довольствоваться сопоставлением по данным укрупненным разрядам.

Перейдем к подсчету теоретических частот для каждой ячейки Табл. 4.14 fА теор=115*156/241=74,44

fБ теор=115*85/241=40,56 fВ теор=47*156/241=30,41 fГ теор=47*85/241=16,59

fД теор=27*156/241=17,47

fЕ теор=27*85/241=9,53 fЖтеор=27*156/241=17,47

fЗ теор=27*85/241=9,53 fИтеор=25*156/241=16,18 fК теор=25*85/241=8,82

Определим количество степеней свободы V по формуле: ν=(k-l)*(c- l) где k - количество строк (разрядов),

с- количествостолбцов(выборок). Дляданногослучая: ν=(5-l)*(2-l)=4

Все дальнейшие расчеты произведем в таблице по Алгоритму 13. Поправка на непрерывность не требуется, так как v>l.

Таблица 4.15

Расчет критерия χ2 при сопоставлении двух эмпирических распределений пропусков слов в тесте Мюнстерберга (n1=156, n2=85)

По Табл. IX Приложения 1 определяем критические значения при ν =4: