22. Числова нерівність. Правильні числові нерівності. Властивості правильних числових нерівностей (Доведення за вибором студента).

Будь-який із знаків < і > називають знаком нерівності.

Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють нерівність.

Якщо обидві частини нерівності — числа, її назива­ють числовою нерівністю. Такі нерівності бувають пра­вильні і неправильні.

Властивості числових нерівностей

Тут розглядатимемо нерівності виду а< в, с>d та ін., де а, b, с, d — довільні дійсні числа.

Теорема 1. Якщо а<b і b<c, то а<с. Доведення. Якщо а<b і b<c, то числа а - b і b - с -від’ємні. їх сума (а — в)+(в — с)=а — с — число також від’ємне. А якщо а — с — число від’ємне, то а<с. Це й треба було довести.

Теорема 2. Якщо до обох частин правильної не­рівності додати одне й те саме число, то дістанемо правильну нерівність.

Наприклад, якщо а < в і с — довільне дійсне число, то

а + с< в + с.

Доведення. Якщо а < в, то а — в — число від’ємне. Оскільки а — в = (а + с) — (в + с), то різниця (а + с) — — (в + с) — число також від’ємне. А це означає, що

а + с< в+с.

Теорема 3. Якщо обидві частини правильної нерів­ності помножити на одне й те саме додатне число, то дістанемо правильну нерівність. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме від'ємне число і змінити знак нерівності на протилеж­ний, то дістанемо правильну нерівність.

Доведення. Нехай а < в і с — будь-яке додатне число. У цьому випадку числа а—в, (а—в)с, а отже, і різниця ас—вс — від’ємні, тобто ас < вс.

Якщо а < в і с — довільне від’ємне число, то добуток (а — в)с, а отже, і різниця ас—вс — числа додатні. Тому ас > вс.

Теорема 4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо a<в і c<d, то а + с< в+d.

Доведення. Якщо а < в і с < d, то за теоремою 2 a+c<в + с і в + c<b+d, звідки

а + с < b + d.Теорема 5. Нерівності з однаковими знаками можна почленно перемножити, якщо їх ліві і праві частини — додатні числа, Наприклад, якщо a<b, c<d і числа а, b, с, d — додатні, то ас < bd.

Доведення. Нехай а<b і c<d, а числа с і b — додатні. Згідно з теоремою 3 ас<bс і bс < bd, звідки за теоремою 1 ас < bd.

Зауваження. Теореми 4 і 5 правильні також для трьох і довільного числа нерівностей. Наприклад, якщо a<b, c<d і п<m, то a+c+n<b+d+m.

Доведення теорем 1—5 для нерівностей із знаком < майже дослівно можна повторити для аналогічних нерівностей із знаком >.

32. Властивості і графік функції y=ax²+bx+c

Функція, яку можна задати формулою у = ах² + bx + c, де а не = 0, b, с — довільні числа, а х — аргу­мент, називається квадратичною функцією.

Приклади квадратичної функції: у = х², у= —х², у = х² + 3, у = (х+4)². їх графіки — рівні параболи, тільки по-різному розміщені на координатній площині.

Графік функції у = ах² — теж парабола; її вершина

лежить у початку координат, а вітки напрямлені вгору, якщо а>0, або вниз, якщо а<0.

Графіки функцій у=ах²+bх+с і у=ах² — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перене­сенням.

Властивості функцій

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функ­ції — проекція її графіка на вісь у (мал. 96). Наприк­лад, область визначення функції у = х²—множина всіх дійсних чисел R, область її значень — проміжок [0; ∞). Область визначення і область значень функції у = ² — проміжки [—2; 2] і [0; 2] (мал. 97).

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшо­му значенню аргументу відповідає більше (менше) зна­чення функції, то таку функцію називають зростаючою (спадною). Наприклад, функції у — 2х, у = х³, у=зростаючі, а функції у = —2х, у= — спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної — «опус­кається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окре­мих проміжках. Наприклад, функція у = х² на проміж­ку (—∞; 0) спадає, а на (0;∞) зростає.

Якщо графік функції симетричний відносно осі г/, її називають парною. Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною. Функція у = f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(—х) = f(x).

Функція, задана формулою у = х^п, де х — аргумент, а п — довільне натуральне число, називається степене­вою функцією з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: у= х, у= х², у = х³, у = х⁴, у = х⁵.

Степенева функція з натуральним показником п пар­на, якщо число п парне (мал. 98), або непарна, якщо число п непарне (мал. 99).