59.Основні способи доведення геометричних тверджень. Метод вичерпування або повної індукції.

Повною індукцією будемо називати такий метод доведення, який ґрунтується на розгляді всіх окремих випадків, що стосуються даної ситуації. Якщо число випадків скінчена і всі вони розглянуті, то висновок зроблений на основі повної індукції вважається правильним. Якщо число нескінчене, то пропонується використати метод математичної(неповної ) індукції.

Приклад. Довести, що добуток трьох послідовних чисел ділиться на 3.

59.Основні способи доведення геометричних тверджень. Метод вичерпування або повної індукції.

Повна індукція — це умовивід, в якому на основі приналежності кожному елементу або кожній частині класу певної ознаки роблять висновок про його приналежність класу в цілому. Наприклад,

Кут, уписаний в коло вище його діаметра, дорівнює половині дуги, на яку він опирається.

Кут, уписаний в коло на його діаметрі, дорівнює половині дуги, на яку він опирається.

Кут, уписаний в коло нижче його діаметра, дорівнює половині дуги, на яку він опирається.

Цим вичерпуються всі типи кутів, уписаних в коло.

Отже всякий кут, уписаний в коло, дорівнює половині дуги, на яку він опирається.

Схема умовиводу повної індукції має такий вигляд:

S1 має ознака р

S₂ має ознака Р

і т.д.

S_m має ознака Р

S₁ S₂... S_m належать класу К і вичерпують його.

Отже всі предмети класу S мають ознаку Р.

Таким чином, загальне судження про деякий клас предметів, одержуване у висновку повної індукції, являє собою не тільки суму знань про всі окремі предмети даного класу, але також загальну характеристику цього класу в цілому. Воно є своєрідним синтезом, своєрідною амальгамою всіх окремих знань, представлених у засновках.

Однієї з найважливіших особливостей повної індукції є вірогідність її висновків, завдяки чому вона застосовується в багатьох самих строгих доказах, тому що, даючи узагальнюючий висновок про всі однорідні факти, вона піднімає наше знання про ці факти із щабля часткового знання на щабель загального знання. Разом з тим не варто переоцінювати роль повної індукції в пізнанні, насамперед, тому, що вона не дає можливості одержати глибокі, вичерпні знання про кожний окремий предмет. Та й у самій ідеї індукції закладене прагнення зробити уявний стрибок у більш широку галузь, ніж досліджувати всі тонкощі предмета або явища, які попали з тієї або іншої пізнавальної причини у нішу повної індукції.

7. Питання Знаходження нсд чисел за алгоритмом Евкліда.

Алгоритм Евкліда використовують коли числа багатоцифрові, і знаходити НСД цих чисел за їх розкладом на прості множини дуже обємно.

Існує спосіб знаходження НСД, який вимагає лише правильного виконання дії ділення з залишком.

Алгоритм Евкліда грунтується на таких твердженнях:

Твердження 1 (Т.1 про НСД)

(а : в, а>в) НСД(а;в)=в

Твердження 2 (Т.2 про НСД)

(а : в, а = вq+r, 0<r<b), то множина CD чисел а і в співпадає з множиною CD b і r.

Твердження 3 (Т.2)

( а : в , а = bq + r, 0<r<b ) НСД (а;в)= НСД ( в;r)

Дійсно множина СD а і в співпадає з множиною чисел b i r, якщо так то обидві множини мають один і той же найбільший елемент, а це значить, що НСД чисел а і в буде = НСД b i r.

Алгоритм Евкліда для знаходження:

1. Нехай а ≥ b, Якщо (а:в), то за ТВ.1 НСД(а;в)=в.

2. Нехай а : b, то а=bq+r, 0<r<b, то за ТВ.3 НСД(а;в) = НСД (b;r)

Якщо в : r , то НСД (b;r)= r (ТВ.1)

Висновок: НСД (а;в) = НСД (b;r)= r

Якщо в : r, то в=r  ∙ q₁ + r₁ , 0<r₁ <r, то за ТВ.3 НСД (b;r)= НСД (r;r₁ )

3. Якщо r : r₁ , то НСД (r;r ₁) = r₁ (За ТВ.1)

Висновок: НСД (а;в) = НСД (в;r)= НСД( r; r₁)=r₁

Якщо r : r₁ , то r= r ₁  ∙ q₂ +r ₂ , 0<r₂ < r₁ , За ТВ.3 НСД(r;r₁ )= НСД (r₁ ;r₂ )

4. Якщо r₁ : r₂ , то НСД(r₁ ;r ₂)= r (ТВ.1)

Висновок: НСД (а;в) = НСД (в;r)= НСД(r;r₁ )= НСД(r₁ ;r₂ )= r₂

Якщо r₁ : r₂ , то r₁ =r₂  ∙ q3 + r3 , 0<r3 <r₂ , то НСД ( r₁;r₂ )=НСД (r₂;r3 )

Продовжуючи цей процес на n кроці ми знайдемо:

n) Якщо r n-2 : r n-1 , то r n-2 =r n-1  ∙

 ∙ q n + r n , де 0 < r n-2 < r n-1 , НСД( r n-1 ;

r n)

Якщо r n-1 : r n , то висновок: НСД (а;в)=НСД( в;r)=НСД( r; r ₁ )=… = НСД (r n-1 ; r n)=r n

Продовжуючи цей процес ми отримаємо все менші залишки, і в кінцевому результаті ми отримаємо попередній залишок який поділиться націло тобто=0 , тоді найменший відмінний від 0 залишок (передостанній) і буде НСД а і в .