45. Чотирикутник вписаний в коло і описаний навколо нього.

Чотирикутник називають вписаним, якщо існує коло, якому належать усі його вершини.

У цьому випадку також кажуть, що коло описане навколо чотирикутника.

На рисунку зображено вписаний чотирикутник ABCD.

Теорема. Якщо чотирикутник є вписаним, то сума його протилежних кутів дорівнює 180.

• А + C = 180

• А+ D =180

І навпаки: якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.

Чотирикутник називають описаним, якщо існує коло, яке дотикається всіх його сторін.

У цьому випадку також кажуть, що коло вписане в чотирикутник.

Теорема. Якщо чотирикутник є описаним, то суми його протилежних сторін рівні.

AB + CD = BC + AD

І навпаки: якщо суми довжин протилежних сторін випуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло.

58. Основні способи доведення теорем. Аналітичний і синтетичний способи доведення теорем.

У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з такими основними методами доведень: синтетичним, аналітичним, аналітико-синтетичним (його інколи називають методом руху з двох кінців), методом доведення від супротивного, повної індукції, математичної індукції, методами геометричних перетворень (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне пере­несення, гомотетія і подібність), алгебраїчним методом, окремими випадками якого є векторний і координатний Розглянемо основні методи доведень.

Аналітичний метод.

До математики і методики її навчання історично увійшли два види аналітичних міркувань. Пер ший з них разом із синтетичним описав Евклід у своїх «Началах», хоча вони були відомі ще раніше Платону (428-348 до н. е.) І Аристотелю (384-322 до н. е.). Другий вид ввів Папп (ІІІ ст.).

Суть аналізу Евкліда можна пояснити на прикладі доведення нерівності

Приклад. Довести нерівність:

 

1. Припустимо, що дана нерівність - правильна.

2. Виведемо з неї наслідки, а саме: помножимо обидві частини на 

(≠0 за умовою). Дістанемо

3. Перенесемов ліву частину останньої нерівності. Дістанемо:  .

4. Запишемо ліву частину одержаної нерівності у вигляді квадрата двочлена: . Остання нерівність правильна за будь-якого а.

Отже, міркування тут проводились від того, що треба довести. При цьому з припущення правильності того, що треба довести (основа), виводились наслідки, ям привели до очевидної пра вильної нерівності (наслідку). Такі аналітичні міркування і називають аналізом Евкліда. Проте цей аналіз не можна вважати доведенням, хоч ми й довели очевидну правильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує правильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями можна дійти правильного наслідку. Наприклад, -а = а, де о=0- хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рівності до квадрата, дістанемо правильну рівність.

Перехід від істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли основа і наслідок - правильні взаємно обернені судження.

Саме з цієї причини аналіз Евкліда не можна вважати доведенням, і тому його називають інколи «недосконалим аналізом».

Синтетичний метод.

У синтетичному методі доведення міркування проводиться від умови або від уже відомого твердження до доводжуваного. Якщо умову доводжуваного твердження (або відоме твердження) позначити буквою А, а висновок буквою В, то схема аналітичного методу матиме вигляд

1.Нехай а  0. Відомо, що

2. Запишемо ліву частину цієї нерівності у вигляді тричлена

3. Розділимо обидві частини останньої нерівності на. Дістанемо:

4. Перенесемо число -2 у праву частину нерівність дістанемо,

що і треба було довести.

Недоліком синтетичного методу доведення в розглянутому прикладі є неможливість (коли не проведено аналізу Евкліда) здогадатися, що треба починати саме з нерівності

 У геометричних доведеннях синтетичним методом важко здога датися про додаткову побудову, яку часто в процесі доведення треба виконати.

Правило-ориєнтир пошуку доведення синтетичним методом за допомогою аналізу Евкліда можна задати так.

1. Припустити, що висновок (вимога) теореми (задачі на доведення) правильний.

2. Вивести з цього припущення всі можливі наслідки.

3. Переконатися, що одержаний висновок-наслідок є або оче видною, або встановленою раніше істиною.

4. Взявши одержаний істинний висновок за вихідне твер дження, провести міркування у зворотному напрямку і перейти, якщо це можливо, до висновку про правильність доводжуваного твердження.

Синтетичний метод разом з аналізом Евкліда особливо зручно використовувати в разі доведення нерівностей.

46 коло ,круг , круговий сектор круговий сегмент

Ко́ло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.

Коло з центром у точці О і радіусом r позначають О(r).

Інструментом для побудови кола є циркуль — один із основних інструментів геометрії.

Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд, діаметр, проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику. Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

Круг — геометрична фігура обмежена колом. Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центр круга) не перевищує заданої відстані (радіуса). Коло є межею круга. Центр, радіус, хорда і діаметр кола є центром, радіусом, хордою та діаметром відповідного круга.

47 призма, означення основні елементи призми

Озн Призмою називають многогранник, у якого дві грані (які називаються основами), рівні і їх відповідні сторони паралельні, а інші грані - паралелограми, у кожного з яких дві сторони є відповідними сторонами основ.

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні багатокутники.Висота призми — відстань між площинами її основ.

Таб. Основни елементы призмы

Название	Определение	Обозначения на чертеже	Чертеж
Основания	Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях.	,
Боковые грани	Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.	, ,,,
Боковая поверхность	Объединение боковых граней.
Полная поверхность	Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые ребра	Общие стороны боковых граней.	, ,,,
Высота	Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.
Диагональ	Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Диагональная плоскость	Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение	Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение	Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмы

• Основания призмы являются равными многоугольниками.

• Боковые грани призмы являются параллелограммами.

• Боковые ребра призмы параллельны и равны.

• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

• Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

• Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где— периметр перпендикулярного сечения,— длина бокового ребра.

• Площадь боковой поверхности прямой призмы , где— периметр основания призмы,— высота призмы.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.

• Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.

48 прямокутний паралелепіпед , куб основні властивості ,розгортка куба

Прямокутний паралелепіпед — паралелепіпед, всі грані якого є прямокутниками.

Моделями прямокутного паралелепіпеда служать класна кімната, цегла, сірникова коробка.

Прямокутний паралелепіпед з рівними розмірами називається кубом. Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його розмірів.

Важливими властивостями прямокутного паралелепіпеда є наступні.(за мал.462)

1) Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Якщо позначити діагональ В₁D = d, то маємо формулу

2) Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Крім відомої формули, для знаходження площі повної поверхні S_пов прямокутного паралелепіпеда з вимірами а, b, с можна використовувати формулу

Прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні, називають кубом.

Всі грані куба - рівні один одному квадрати.

Якщо куб має ребро довжиною а, то його повну поверхню S_пов та об’єм V можна знайти за формулами:

розгортка куба