Частина 2. Багатофакторні (множинні) моделі

1. Спочатку розрахуємо багатофакторну лінійну модель.

Таблиця початковими даними має наступний вигляд :

Y	X1	X2
125,8	30	187
127,1	32	186
133,8	35	187
130,1	37	196
132,1	40	189
146,2	45	200
143,8	51	195
132,1	53	198
126,7	57	186
126,2	60	197
139,5	58	207
142,6	54	201
124,2	38	165
111,6	53	167
125,4	51	185
121,8	46	173
126,5	48	180
125,4	50	182

Специфікація моделі:

Для побудови моделі спочатку ідентифікуємо змінні:

Y – залежна змінна, обсяги продажу товару (тис.т);

Х₁ – незалежна змінна, кількість населення на досліджуваній території (тис.чол. ).

Х₂ – незалежна змінна, затрати на рекламу (тис.грн.)

Побудова моделі:

• Використовуємо статистичну функцію «ЛИНЕЙН». Для заданої задачі таблиця «ЛИНЕЙН» матиме вигляд :

  0,619698	-0,13134	19,76447
  0,118903	0,149571	21,56418
  0,646761	5,469868	#Н/Д
  13,73209	15	#Н/Д
  821,7131	448,7919	#Н/Д

• Перший рядок результатів розрахунку містить оцінки параметрів моделі:

â₂ â₁ â₀

0,619698

-0,13134

19,76447

Значення а₁ = -0,13134 показує, що значення обсягів продажу товару зменшиться на 0,13134тис.т., якщо кількість населення на досліджуваній території збільшиться на 1 тис.чол.

Значення а₂ = 0,619698 показує, що значення обсягів продажу товару збільшиться на 0,619698 тис.т., якщо затрати на рекламу збільшаться на 1 тис.грн.

Значення а₀ =19,76447 показує,що мінімальний обсяг продажу товарів за умов, що інші фактори дорівнюють 0,становитиме 19,76447 тис.т.

Отже,можемо вивести економетричну формулу моделі залежності,вона матиме вигляд :

Ŷ = 19,76447- 0,13134 *Х₁ + 0,619698 *Х₂ +u

t – критерій

ta0	0,916542
ta1	0,87809
ta2	5,211817

Знаходимо t_табл з таблиці t-розподілу: df = n - m-1, α/2 – рівень значущості.

n – кількість спостережень, у нашому випадку n = 18

m – кількість незалежних змінних, у нашому випадку m = 2

α/2 – рівень значущості, α/2 = 0,975

Маємо :

t_табл = 3,68

Отже, для параметра а₀ ,так як і для параметра а₁ : t_факт< t_табл – це означає, що за t-критерієм оцінки параметрів а₀ та a₁ є статистично незначущими, а оцінка параметра а₂ є статистично значущою.

Статистична незначущість коефіцієнта а₀ інформує про те, що всі інші фактори, які не були враховані в даній регресійній моделі, мають значний вплив на залежну змінну, незначущість a₁ – про те, що кількість населення несуттєво впливає на зміну обсягів продажу товару, а значущість а₂ про те, що затрати на рекламу суттєво впливають на зміну обсягів продажу товару.

Інтервали надійності для оцінок â_і :

В результатах регресійного аналізу моделі також є інтервали надійності для кожного коефіцієнта:

a₀ : -26,2 < a₀ < 65,73

a₁: -0,45< a1 < 0,19

a₂: 0,37< a2 < 0,87

Величини інтервалів надійності коефіцієнта a₀ є великими, тобто можемо зробити висновок, що знайдений коефіцієнт є не достатньо точним.

Величини інтервалів надійності коефіцієнтів a₁ та a₂ є невеликими, тобто можемо зробити висновок, що знайдені коефіцієнти є достатньо точними.

• В третьому рядку таблиці результатів знаходяться два показники – коефіцієнт детермінації і стандартне відхилення залишків моделі :

R² σ_u

0,646761

5,469868

Коефіцієнт детермінації визначає на скільки відсотків рівняння регресії пояснює поведінку залежної змінної У, тобто в даному випадку 65% обсягів продажу товару залежатиме від кількості населення на досліджуваній території, від затрат на рекламу , і на 35 % такі зміни пов’язані з іншими неврахованими факторами.

Коефіцієнт кореляції становить R=0,804

Отже, коефіцієнт кореляції вказує на те, що між обсягами продажу товару, кількістю населення та затратами на рекламу існує досить тісний зв’язок, так як R > 0, то характер зміни обсягів продажу товару, кількості населення та затрат на рекламу однаковий.

• F-критерій

Перевіримо статистичну значущість всієї моделі за допомогою критерія Фішера.

Табличне значення критерію Фішера у нашому випадку становить:

F_табл = 3,68

Оскільки F_факт(13,73)> F_табл , то можна зробити висновок, що за критерієм Фішера модель є статистично значущою, тобто підтверджується гіпотеза про те, що кількісна оцінка зв’язку між залежною і пояснювальною змінними в моделі є істотною.

• В п`ятому рядку знаходяться сума квадратів регресії та сума квадратів залишків :

821,7131

448,7919

Отже, знаючи загальну дисперсію та дисперсію залишків можемо знайти дисперсію змінної Y :

821,7131 – 448,7919= 372,9213

Дисперсія змінної Y характеризує міру відхилень значень залежного фактора y_i від середнього значення . Отже, дисперсія залежної змінної Y характеризує, що міра розсіювання значень Y навколо свого середнього значення становить 372,9213.

Дисперсія залишків ( випадкова дисперсія) характеризує міру відхилень значень залежного фактора y_i від розрахованих значень за моделлю y_i^. Отже, в даному випадку міра відхилень значень залежного фатора y_i від розрахованих значень за моделлю y_i^ становитиме 448,7919.

• Далі знайдемо коефіцієнт еластичності , для того щоб оцінити вплив незалежного фактора Х на залежний фактор Y.

Для цього користуємося наступною формулою:

.

Отже спочатку розрахуємо середнє значення кожного з факторів.

Маємо:

	Y	X1	X2
	125,8	30	187
	127,1	32	186
	133,8	35	187
	130,1	37	196
	132,1	40	189
	146,2	45	200
	143,8	51	195
	132,1	53	198
	126,7	57	186
	126,2	60	197
	139,5	58	207
	142,6	54	201
	124,2	38	165
	111,6	53	167
	125,4	51	185
	121,8	46	173
	126,5	48	180
	125,4	50	182
СРЗНАЧ	130,05	46,55556	187,8333

Тепер скориставшись формулою можемо розрахувати коефіцієнт еластичності для кожного незалежного фактора.

Маємо: Е_у/х1= -0,04702

Е_у/х2= 0,89504

Коефіцієнт еластичності характеризує на скільки відсотків зміниться залежна змінна У при зміні фактора Х на 1 %.

Тобто при збільшенні кількості населення на досліджуваній території на 1 % обсяг продажу товару зменшиться на 0,047 %, а при збільшенні затрат на рекламу на 1 % обсяги продажу товарів збільшаться на 0,895 %