Тема 17. Числовые ряды

Определение суммы ряда, сходимости и расходимости. Необходимый признак сходимости. Геометрическая прогрессия. Арифметические операции с рядами.

Признаки сходимости: теорема сравнения, интегральный признак сходимости, признак Даламбера.

Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка такого ряда.

Тема 18. Степенные ряды.

Функциональные ряды. Мажорируемость. Непрерывность, почленная интегрируемость и дифференцируемость функциональных рядов.

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.

Приближенные вычисления, вычисления определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Тема 19. Кратные и криволинейные интегралы

Определение двойного интеграла. Вычисление массы пластины, вычисление объема тела. Достаточное условие интегрируемости. Свойства двойного интеграла (линейность, адитивность, монотонность, оценка, теорема о среднем).

Сведение двойного интеграла к повторному.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Тройной интеграл, определение и свойства. Сведение тройного интеграла к повторному.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла. Приложения тройного интеграла к вычислению физических величин.

Работа переменной силы. Понятие дуги кривой. Определение криволинейного интеграла. Физический смысл. Циркуляция.

Свойства криволинейного интеграла (линейность, адитивность, изменение знака при изменении ориентации, случай поля, ортогонального траектории).

Вычисление криволинейного интеграла. Достаточное условие его существования.

Понятие векторного поля. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Интеграл по дуге; определение, свойства и приложение к вычислению массы нити.