Тема 9. Векторы

Понятие вектора. Равенство двух векторов. Операции сложения векторов и умножения вектора на число. Длина, направляющие косинусы вектора, орт. Стандартный базис . Координаты вектора. Запись в координатах длины вектора, операций сложения и умножения на число.

Скалярное произведение. Определение, физический смысл скалярного произведения. Разложение вектора по ортонормированному базису. Свойства и запись в координатах скалярного произведения.

Векторное произведение. Определение, физический смысл, свойства и запись в координатах. Геометрический смысл определителя .

Смешанное произведение. Определение, свойства и метод вычисления. Геометрический смысл смешанного произведения. Геометрический смысл определителя

Тема 10 аналитическая геометрия

Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Вектор, перпендикулярный прямой. Параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в заданном отношении. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Полуплоскости, задаваемые прямой.

Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Запись уравнения плоскости по заданным элементам. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Общий случай расположения трех плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Полупространства, определяемые плоскостью.

Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнения. Общее уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.

Эллипс, геометрическое определение. Приведение к каноническому виду. Полуоси, эксцентриситет. Свойства эллипса. Гипербола, парабола - их свойства и геометрические определения.

Тема 11 функции многих переменных

Понятия функций двух и трех переменных многих переменных; область определения, график, линии и поверхности уровня.

Предел и непрерывность ф.м.п.; их основные свойства.

Дифференциал ф.м.п. Достаточное условие дифференцируемости.

Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности.

Экстремумы ф.м.п. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Тема 12 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Обратная задача к задаче дифференцирования. Первообразная. Теорема о первообразных. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Разложение и интегрирование дробно-рациональных функций.

Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений.

Тема 13. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Первичные свойства определенного интеграла. Оценка определенного интеграла, теорема о среднем.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций.

Тема 14. Приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты. Площадь криволинейного сектора. Вычисление объемов тел. Определение и вычисление длины дуги.

Вычисление работы силы.

Тема 15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го порядка.

Общие понятия (определение дифференциального уравнения, решения, порядка, нормальной формы записи). Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши, теорема существования и единственности.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах.

Тема 16. Линейные дифференциальные уравнения;

однородные и неоднородные. Линейность пространства решений однородного линейного уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения. Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения