7. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена

1. Разложение экспоненты

Для всех x∈ℝимеет место разложение

где

Например, если , то

Тем самым cточностью

2. Разложение синуса и косинуса

Для всех имеет место разложение

где

Для всех имеет место разложение

где

3. Бином Ньютона

Для каждого действительного числа α и для каждого определим биномиальный коэффициент

По определению полагаем также, что . Имеем:

Теорема. Для любого действительного α и для любогоимеет место разложение

причем

Рассмотрим частные случаи формулы (5).

Случай α =m -- натуральное число. Тогда и мы получаем бином Ньютона

Случай . Тогда нетрудно вывести, что. Поэтому

где

4. Разложение логарифма

Из (8) или непосредственно нетрудно получить

где

20