Производная

Оглавление

1Определение производной 1

2Основные правила дифференцирования. 5

2.1 Таблица производных 6

3Другие приемы дифференцирования 8

3.1Неявно заданные функции. 8

3.2Параметрически заданные функции 9

3.3Логарифмическая производная 10

4Теорема Лагранжа 11

4.1Минимумы и максимумы 11

5Правило Лопиталя 14

5.1Сравнение степени возрастания показательных, степенных и логарифмических функций. 15

6Формула Тейлора 15

7Разложение элементарных функций по формуле Маклорена 18

7.1Разложение экспоненты 18

7.2Разложение синуса и косинуса 18

7.3Бином Ньютона 19

7.4Разложение логарифма 20

1. Определение производной

Задача о мгновенной скорости. Рассмотрим материальное тело движущееся по оси Ох. Предположим, что нам известен закон движения – функция, задающая координату точки в момент времениФиксируем какой-либо момент времени. Поставим задачу об определении и вычислении мгновенной скоростив момент времени. Придадим приращениевремени и найдем соответствующее ему приращение координаты. Тогда отношение приращения координаты к приращению времени задает среднюю скорость на временном участке:

(1)

Мгновенную скорость определим как предел средней скорости при :

Пример.Закон падения тела с высоты без учета сопротивления воздуха задается как(-- ускорение свободного падения). Вычислим скорость тела после 3-х секунд падения:

Задача о касательной. Пусть на плоскости или в пространстве задана некоторая кривая γ и точка P на ней. Требуется определить понятие касательной к γ в точке P. Выберем точкуна кривой, не совпадающую с точкой. Проведем через точкиипрямую, называемую секущей.Касательной в точке P к кривой γназовем предельное положение секущих, в случае, когда точка Q приближается к точке P, оставаясь на кривой γ. Пусть теперь γ -- график функции, и точка P имеет координаты. Рассмотрим точку. Обозначими назовем эти величины приращением аргумента и приращением функции соответственно. Тогда угловой коэффициент секущейбудет равени ее уравнение будет

Рис. 1 Касательная

Если , то, причеми секущая (3) переходит в касательную с угловым коэффициентом

Пример. Найдем касательную к кубической параболев точке. Имеем

Отсюда получаем ответ: или. Это и есть уравнение искомой касательной.

Определение.Предел

называется производной функции в точке.

Функция называется дифференцируемой на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала.

Можно определить правую производную в точке , рассматривая в (5) правый предел. Такая производная обозначается. Аналогично определяется левая производнаяПроизводнаясуществует тогда и только тогда существуют и совпадают между собой односторонние производные. Односторонние производные удобно использовать, когда мы говорим о дифференцируемости функциина отрезке. Тогда подразумевается, чтоимеет (двустороннюю) производную в каждой внутренней точке, а также имеет односторонние производныеи.

Итак: механический смысл производной -- мгновенная скорость. Геометрический смысл производной -- тангенс угла наклона касательной к графику функциив точке.

Уравнение касательной к графику функции в точкеимеет вид:

а уравнение нормали имеет вид:

в предположении . Если же, то касательная горизонтальна и задается уравнением, а нормаль перпендикулярна оси Ох и задается уравнением.

Примеры.1.

2. . Действительно,

3. . Действительно,

4. Функция в нуле непрерывна, но не имеет производной. Правая производная в нуле равна 1, а левая равна.

Предложение 1. Дифференцируемая функция непрерывна.

Действительно, из соотношения вытекает, чтоотличается отна бесконечно малую величинуи

Это и означает непрерывность функции в точке.□

Заметим, что непрерывная функция не обязательно будет дифференцируемой, см. выше пример функции в точке.