Моделирование переходных процессов в нелинейных электрических цепях методом переменных состояния на базе матричных топологических соотношений

Аннотация

Предложен метод и вычислительный алгоритм автоматизации построения системы уравнений относительно переменных состояния нелинейной электрической цепи произвольной сложности, если цепь представлена схемой замещения, содержащей идеализированные источники ЭДС и тока, индуктивные, ёмкостные и резистивные элементы. Предложенный метод базируется на топологических соотношениях теории цепей в матричной форме. Принята стандартная система переменных состояния: потокосцепления индуктивных элементов и заряды ёмкостных элементов. Входы модели (динамической системы) – ЭДС и токи источников. Выходы модели – напряжения и токи всех ветвей (элементов схемы замещения). Входные данные разработанного алгоритма – матрица узловых соединений, кодирующая схему замещения; шесть списков номеров: ветвей дерева с идеальными источниками ЭДС, ёмкостных ветвей дерева, резистивных ветвей дерева, резистивных ветвей связи, индуктивных ветвей связи, ветвей с идеальными источниками тока; дескрипторы функций времени, представляющих ЭДС и токи источников; дескрипторы нелинейных функций, представляющих характеристики свойств всех остальных элементов. Выходные данные разработанного алгоритма – дескрипторы нелинейных функций передач от входов динамической системы и переменных состояния к скоростям изменения переменных состояния, а также к выходам моделируемой системы (цепи). В статье предложено также два новых метода статического анализа нелинейных электрических цепей: метод напряжений резистивных ветвей связи и метод токов резистивных ветвей дерева. Эти методы применены для автоматизации построения дескрипторов нелинейных функций, входящих в типовую матричную форму модели цепи в пространстве состояний. Вычислительные эксперименты подтверждают работоспособность предложенных методов и алгоритмов.

Ключевые слова: нелинейная электрическая цепь, переходные процессы, метод переменных состояния, топология, методы нелинейного статического анализа.

Abstract

The method and computing algorithm of automation of build of simultaneous equations concerning state variables of the nonlinear electric circuit of any complexity if the circuit is presented by an equivalent circuit containing idealized sources of the EMF and a current, inductive, capacitor and resistive elements is offered. The offered method is based on topological parities of circuit theory in the matrix form. The standard system of state variables is accepted: magnetic flux linkage inductive elements and charges of capacitor elements. Model inputs (dynamic system) – the EMF and currents of sources. Model outputs – voltages and currents of all branches (equivalent circuit elements). The input data of the developed algorithm - the matrix of node connections coding an equivalent circuit; six lists of numbers: branches of a tree with ideal sources of the EMF, capacitor branches of a tree, resistive branches of a tree, resistive branches of chord, inductor branches of chord, branches with ideal current sources; descriptors of time functions representing the EMF and currents of sources; descriptors of the nonlinear functions representing the characteristics of properties of all other elements. Output data of the developed algorithm – descriptors of nonlinear functions of transfers from inputs of dynamic system and state variables to speeds of change of state variables, and also to exits of modeled system (circuit). In article it is offered also two new methods of the static analysis of nonlinear electric circuits: a method of chord resistive branches voltages and a method of tree resistive branches currents. These methods are applied to automation of build of descriptors of the nonlinear functions entering into the typical matrix form of circuit model in a state space. Computing experiments confirm working capacity of the offered methods and algorithms.

Key words: nonlinear electric circuit, transients, the method the state variables, topology, methods of nonlinear static analysis.

Важным этапом автоматизированного проектирования электронных средств является проведение поверочных расчётов, которые часто сводятся к моделированию переходных и установившихся режимов [1, 2]. Электронные средства содержат электрические и магнитные цепи, которые при моделировании представляются схемами замещения [3 – 13 и др.].

Если схема замещения электрической цепи содержит индуктивные и ёмкостные элементы, то процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями (ДУ) [3,4,6–13 и др.]. Если моделируемая цепь с сосредоточенными параметрами, то процессы в ней описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ODE). Для решения ODE существуют стандартные решатели (например, в системе MATLAB) [14], реализующие численные методы, которые в настоящее время продолжают совершенствоваться [15,16 и др.]. Наиболее корректно эти решатели подключаются, если система ODE цепи сформирована методом переменных состояния [17]. В качестве переменных состояния лучше всего выбирать магнитные потокосцепления идеальных индуктивных элементов и заряды идеальных ёмкостных элементов [7 – 13, 18 – 20]. Первые производные по времени от этих физических величин представляют собой напряжения на зажимах индуктивностей и токи в ёмкостях. В соответствии со сказанным, система уравнений электрической цепи с сосредоточенными параметрами в пространстве состояний имеет вид

(1)

где [u_L] – столбец мгновенных напряжений на зажимах идеальных индуктивных элементов; [i_C] – столбец мгновенных токов в идеальных ёмкостных элементах; f₁ – нелинейная функция передач от переменных состояния и мгновенных параметров источников к скоростям изменения переменных состояния; – столбец мгновенных потокосцеплений в идеальных нелинейных индуктивностях;– столбец мгновенных зарядов в идеальных нелинейных ёмкостях;– столбец мгновенных значений переменных состояния моделируемой цепи;– столбец мгновенных значений ЭДС ветвей;– столбец мгновенных значений токов источников ветвей;– столбец мгновенных значений напряжений ветвей;– столбец мгновенных значений токов ветвей;f₂ – нелинейная функция передач от переменных состояния и мгновенных параметров источников к напряжениям и токам ветвей.

Пусть схема замещения цепи состоит из нелинейных идеализированных двухполюсников: резистивных, индуктивных и ёмкостных, а также идеальных источников ЭДС и тока. Чтобы построить удобный способ матричного представления нелинейных функций f₁ и f₂, входящих в уравнения (1), нужно при описании топологии цепи каждый двухполюсник считать отдельной ветвью [7, 13], причём все источники ЭДС и ёмкостные элементы должны являться ветвями дерева, т.к. напряжения на зажимах источников ЭДС всегда известны, а напряжения на зажимах ёмкостных элементов функционально (кулон- вольтными характеристиками) связаны с зарядами, которые являются входными аргументами нелинейных функций f₁ и f₂. Все источники тока и индуктивные элементы должны являться ветвями связи, т.к. токи источников тока всегда известны, а токи индуктивных элементов функционально (вебер- амперными характеристиками) связаны с магнитными потокосцеплениями, которые являются входными аргументами нелинейных функций f₁ и f₂. Резистивные элементы могут быть как ветвями дерева, так и ветвями связи.

В связи с изложенными соображениями все ветви схемы замещения нужно разделять на 6 групп: 1) ветви дерева с идеальными источниками ЭДС, 2) ветви дерева с идеальными ёмкостями, 3) резистивные ветви дерева, 4) резистивные ветви связи, 5) ветви связи с идеальными индуктивностями, 6) ветви связи с идеальными источниками тока. Наиболее удобным компьютерным представлением топологии цепи является матрица узловых соединений [A], которую можно представить в виде горизонтальной склейки двух блоков [1]: 1) узловая матрица ветвей дерева [A_д], 2) узловая матрица ветвей связи [A_к]. Для вывода определяющих матричных выражений функций f₁ и f₂ наиболее удобна матрица главных сечений [Q], которая может быть получена из матрицы [A] [7, 8, 9, 13]:

Матрица главных контуров:

где [Q_д]=[1_д] – блок матрицы [Q], соответствующий только ветвям дерева, [1_д] – единичная матрица размера (д,д), где д – число ветвей дерева; [Q_к] – блок матрицы [Q], соответствующий только ветвям связи; [B_д] – блок матрицы [B], соответствующий только ветвям дерева, [B_к]=[1_к] – блок матрицы [B], соответствующий только ветвям связи, [1_к] – единичная матрица размера (к,к), где к – число ветвей связи. Последние соотношения показывают, что для записи обоих законов Кирхгофа достаточна только одна матрица [Q_к]. С помощью этой матрицы выразим по первому закону Кирхгофа токи ветвей дерева через токи ветвей связи и по второму закону Кирхгофа выразим напряжения ветвей связи через напряжения ветвей дерева:

(2)

где [i_e] – матрица- столбец токов, протекающих через источники ЭДС; [i_C] – матрица- столбец токов, протекающих через идеальные ёмкости; [i_rд] матрица- столбец токов, протекающих через резистивные ветви дерева; [i_rк] – матрица- столбец токов, протекающих через резистивные ветви связи; [i_L] – матрица- столбец токов, протекающих через идеальные индуктивности; [i_J] – матрица- столбец токов, протекающих через идеальные источники тока (в уравнениях (1) обозначено как ); [u_rк] – матрица- столбец напряжений на резистивных ветвях связи; [u_L] – матрица- столбец напряжений на идеальных индуктивностях; [u_J] – матрица- столбец напряжений на идеальных источниках тока; [u_e]=-[e] – матрица- столбец напряжений на идеальных источниках ЭДС; [e] – матрица- столбец ЭДС идеальных источников (в уравнениях (1) обозначено как ); [u_C] – матрица- столбец напряжений на идеальных ёмкостях; [u_rд] – матрица- столбец напряжений на резистивных ветвях дерева.

Чтобы развернуть блочно- матричные соотношения (2), матрицу [Q_к] представим склейкой блоков:

где [Q_rк] – блок матрицы [Q_к], соответствующий только резистивным ветвям связи; [Q_L] – блок матрицы [Q_к], соответствующий только индуктивным ветвям; [Q_J] – блок матрицы [Q_к], соответствующий только ветвям с идеальными источниками тока; [Q_rк,e] – блок матрицы [Q_rк], соответствующий главным сечениям, образованным источниками ЭДС; [Q_rк,C] – блок матрицы [Q_rк], соответствующий главным сечениям, образованным ёмкостными ветвями; [Q_rк,rд] – блок матрицы [Q_rк], соответствующий главным сечениям, образованным резистивными ветвями дерева; [Q_L,e] – блок матрицы [Q_L], соответствующий главным сечениям, образованным источниками ЭДС; [Q_L,C] – блок матрицы [Q_L], соответствующий главным сечениям, образованным ёмкостными ветвями; [Q_L,rд] – блок матрицы [Q_L], соответствующий главным сечениям, образованным резистивными ветвями дерева; [Q_J,e] – блок матрицы [Q_J], соответствующий главным сечениям, образованным источниками ЭДС; [Q_J,C] – блок матрицы [Q_J], соответствующий главным сечениям, образованным ёмкостными ветвями; [Q_J,rд] – блок матрицы [Q_J], соответствующий главным сечениям, образованным резистивными ветвями дерева.

Развернём соотношения (2) и выразим токи и напряжения по категориям ветвей:

Используя характеристики свойств нелинейных элементов, запишем уравнения относительно [i_rд], [u_rк] при известных [_L], [q_C], [u_e], [i_J]:

(3)

где [i_rк]([u_rк]) – функциональная зависимость токов резистивных ветвей связи от напряжений этих же ветвей, [u_rд]([i_rд]) – функциональная зависимость напряжений резистивных ветвей дерева от токов этих же ветвей, [i_L]([_L]) – функциональная зависимость токов индуктивных ветвей от потокосцеплений этих же ветвей, [u_C]([q_C]) – функциональная зависимость напряжений ёмкостных ветвей от зарядов этих же ветвей. Если первое уравнение (3) подставить во второе, то из системы нелинейных уравнений (3) будет исключено [i_rд], а если второе уравнение (3) подставить в первое, то из системы нелинейных уравнений (3) будет исключено [u_rк]. Для экономии вычислительных ресурсов целесообразно исключать более длинный из массивов [i_rд] или [u_rк]. С учётом сказанного из уравнений (3) следует два метода статического анализа состояния нелинейной электрической цепи: метод напряжений резистивных ветвей связи и метод токов резистивных ветвей дерева.

Первый из этих методов сводится к формированию и решению матричного уравнения относительно [u_rк]:

Далее первое соотношение (3) используется в качестве прямой формулы вычисления [i_rд].

Второй из этих методов сводится к формированию и решению матричного уравнения относительно [i_rд]:

Далее второе соотношение (3) используется в качестве прямой формулы вычисления [u_rк].

Совместное решение уравнений (3) методом напряжений резистивных ветвей связи или методом токов резистивных ветвей дерева обозначим как вспомогательные нелинейные функции:

С учётом введённых обозначений формулы, определяющие нелинейную матричную функцию f₁ в системе уравнений (1), имеют вид

(4)

(5)

Формулы, определяющие нелинейную матричную функцию f₂ в системе уравнений (1), имеют вид

Для проверки работоспособности предложенного метода смоделирован переходный процесс пуска двухполупериодного мостового диодного выпрямителя с ёмкостным и индуктивным фильтром, работающего на резистивную нагрузку (рис.1). Выпрямитель питается от идеального синусоидального источника ЭДС (ветвь №1), амплитуда ЭДС E_m=1B, частота  = 1 рад/мс. Для простоты предположим, что диоды (ветви 2,3,4,5) имеют кусочно- линейную вольт- амперную характеристику: проводимость в закрытом состоянии 1 мкСм, проводимость в открытом состоянии 1 См. Сопротивление нагрузки (ветвь 6) R_н=1кОм. Ёмкость фильтра (ветвь 7) C=10мкФ, индуктивный элемент фильтра (ветвь 8) без паразитных параметров с нелинейной безгистерезисной вебер- амперной характеристикой i=2мАatanh(/2мВб), где i – ток,  – магнитное потокосцепление.

Рис.1. Расчётная схема моделируемого выпрямителя

Цифры в прямоугольниках на рис.1 – номера узлов. Ветви 1,2,6,7 – ветви дерева; 3,4,5,8 – ветви связи. Модель переходного процесса реализована в системе MATLAB в виде вычислительного сценария и m-функций. Алгоритм расчёта представляет собой следующую последовательность действий: 1) объявление глобальной переменной для управления начальным приближением статического нелинейного решателя, 2) задание матрицы узловых соединений моделируемой цепи, 3) задание списков номеров ветвей по категориям (ветви дерева с идеальными источниками ЭДС (в данном случае ветвь 1), ветви дерева с ёмкостными элементами (в данном случае ветвь 7), резистивные ветви дерева (в данном случае ветви 2,6), резистивные ветви связи (в данном случае ветви 3,4,5), ветви связи с индуктивными элементами (в данном случае ветвь 8), ветви связи с идеальными источниками тока (в данном случае пустой список)); 4) инициализация топологической информации (построение списка главных сечений по категориям, построение списка главных контуров по категориям, контроль согласованности топологических параметров, вычисление матрицы [Q_к]), 5) настройка параметров нелинейного статического решателя и решателя дифференциальных уравнений, 6) инициализация глобальной переменной, 7) формирование дескрипторов функций времени, описывающих источники ЭДС и тока, дескрипторов функций, описывающих вольт- амперные, вебер-амперные и кулон- вольтные характеристики пассивных ветвей; 8) формирование дескриптора функции f₁ в системе ODE (1) на основе вызова функции статического анализа, вычисляющей параметры состояния ветвей цепи по известным переменным состояния, ЭДС и токов источников; 9) вызов решателя ODE (задачи Коши), 10) повторная инициализация глобальной переменной, 11) завершающий вызов m-функции статического анализа, вычисляющей функцию f₂ в системе ODE (1). В системе MATLAB применён решатель дифференциальных уравнений ode15s и статический нелинейный решатель fsolve. Последний вызывается из m-функции нелинейного статического анализа, алгоритм которой основан на применении соотношений (3) и далее. Перед вызовом решателя fsolve строится дескриптор функции, вычисляющей невязку системы нелинейных уравнений относительно токов резистивных ветвей дерева или напряжений резистивных ветвей связи. Сразу после возврата из решателя глобальной переменной присваивается выход решателя fsolve. Это значение будет использоваться при следующем вызове решателя fsolve в качестве начального приближения. Данный вычислительный приём применён для существенного сокращения числа нелинейных статических итераций, которые совершаются на каждом временном шаге в ходе работы решателя ode15s. Такой вычислительный приём может быть осуществлён только путём применения глобальной переменной.

Рассчитанные графики тока в выпрямителе представлены на рис.2.

Рис.2. Рассчитанные графики токов

Графики, представленные на рис.2, подтверждают работоспособность предложенного метода моделирования переходных процессов в нелинейных электрических цепях, входящих в состав электронных средств. Предложенный метод моделирования отличается от традиционных, основанных на методе переменных состояния, автоматизированным алгоритмом построения нелинейных функций передач от источников ЭДС и токов (входов динамической системы), а также магнитных потокосцеплений и зарядов реактивных элементов (переменных состояния динамической системы) к скоростям изменения переменных состояния, а также к токам и напряжениям всех ветвей. Этот алгоритм основан на матричных топологических соотношениях теории цепей. Предложенный алгоритм позволяет при построении моделей применять стандартные (типовые) решатели ODE и нелинейного статического анализа, содержащиеся в математическом ПО. Кроме того, в данной статье предложены два оригинальных метода статического анализа нелинейных электрических цепей: метод напряжений резистивных ветвей связи и метод токов резистивных ветвей дерева.

Литература

1. Ланцов В.Н. Состояние в области методов моделирования нелинейных ВЧ электронных устройств связи (Обзор). Часть 1. – Проектирование и технология электронных средств, 2012, № 4. – с. 2 – 11.

2. Павлов Е.П., Санникова И.Т. Основы проектирования электронных средств: Конспект лекций. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2004 – 342 с.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. – М.: Высшая школа, 1996. – 638 с. ISBN 5-8297-0026-3.

4. Теоретические основы электротехники. Справочник по теории электрических цепей/ Под ред. Ю.А.Бычкова, В.М.Золотницкого, Э.П. Чернышёва. – СПб.: Питер, 2008. – 349 с. ISBN 978-5-469-00971-9.

5. Жигалов И.Е. Схемотехнический подход к моделированию электромеханических систем. – Проектирование и технология электронных средств, 2013, № 1. – с. 24 – 28.

6. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники. – СПб.: Питер, 2009. – Том 1. – 512 с. ISBN 9785388004109.

7. Демирчян К.С., Коровкин Н.В., Нейман Л.Р. Теоретические основы электротехники. – СПб.: Питер, 2009. – Том 2. – 431 с. ISBN 9785388004116.

8. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. – М.: Высшая школа, 1976. – 544 с.

9. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.Д., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с. ISBN 5-283-00523-2.

10. Башарин С.А. Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля. Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений/ С.А.Башарин, В.В.Фёдоров. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с. ISBN 5-7695-1261-X.

11. Татур Т.А., Татур В.Е. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 408 с. ISBN 978-5-06-003977-1.

12. Андреев В.С. Теория нелинейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1982. – 280 с.

13. Данилов Л.В. Теория нелинейных электрических цепей/ Л.В.Данилов, П.Н.Матханов, Е.С.Филиппов. – Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отделение, 1990. – 256 с. ISBN 5-283-04433-5.

14. Ануфриев И. E., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. MATLAB 7 в подлиннике. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.: ил. ISBN 5-94157-494-0.

15. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Метод решения уравнений состояния электронных устройств. – Проектирование и технология электронных средств, 2012, № 1. – с. 19 – 25.

16. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Решение уравнений переменных состояния электронных устройств на основе обнуления невязки. – Проектирование и технология электронных средств, 2014, № 1. – с. 17 – 20.

17. Малафеев С.И. Теория автоматического управления/ С.И. Малафеев, А.А. Малафеева. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 384 с. ISBN 978-5-4468-0230-2.

18. Курганов С.А., Филаретов В.В. Формирование уравнений состояния линейных электрических цепей с обобщёнными индуктивными сечениями и ёмкостными контурами. – Электричество, 2013, № 9.

19. Баринов В.А., Строев В.А. Моделирование и анализ стационарных и переходных режимов энергосистем и их объединений. – Электро, 2002, № 4. – с. 10-12.

20. Обухов С. Г., Коровин В. В. Математическое моделирование и визуализация процессов при исследовании устройств силовой электроники в учебной лаборатории. – Практическая силовая электроника, 2004, № 1.

Селезнёв В.Ю., Сбитнев С.А., Шмелёв В.Е., Горюшин Ю.А.