Дискретное преобразование Фурье

62

Для дальнейшего увеличения точности можно заменить f(t) не ступенькой, а кусочно-линейной аппроксимацией.

Таким образом для ДПФ необходимо выполнить пропорциональное N2 операций умножения. Если число отсчетов, и, следовательно, гармоник увеличивается, увеличивается пропорционально N2 и число операций умножения. Например, если N1=8, N2=32, то время расчета возрастает в 16 раз!

Для устранения этого недостатка существует группа методов, получивших название быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Интеграл Фурье

Как известно разложение периодической функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, в ряд Фурье имеет вид:

63

Интервал между круговыми частотами соседних гармоник:

Подставляя в формулу ряда Фурье значения коэффициентов A0, Bk, Ck:

Устремляя T к бесконечности, заключаем, что если функция f(x) абсолютно интегрируема в беско-

При T→∞ ∆ω→0 (∆ω→dω), суммирование заменяется на интегрирование в пределах от 0 до

Т.к. T→∞, функция f(t), заданная на промежутке -∞ ≤ t ≤ +∞ является уже непериодической функцией. Поэтому можно утверждать, что формула (1) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических функций с непрерывно изменяющимися частотами ω и бесконечно малыми амплитудами. Таким образом, непериодическая функция характеризуется непрерывным спектром частот, в то время как периодическая функция — дискретным. Выражение (1) носит название интеграла Фу-

рье в тригонометрической форме.

64

В силу четности функции cos(ω(t-x)) относительно ω можно записать:

Т.к. функция sin(ω (t-x)) нечетна относительно ω, то данный интеграл равен 0. Умножим теперь равенство (3) на j и сложим его с (2). Учтем при этом, что

e jωt = cos(ωt )+ j sin(ωt )

После данных несложных преобразований получаем интеграл Фурье в комплексной форме (4):

Если теперь рассмотреть внутренний интеграл как функцию от ω – F(jω)

Если f(t) задана на промежутке от 0 до +∞, а на промежутке от -∞ до 0 равна нулю, то можно запи-

Равенство (7) — это одностороннее прямое преобразование Фурье. Комплексная функция час-

тоты F(jω) дает закон изменения комплексной амплитуды гармоник в зависимости от частоты ω и называется спектральной плотностью (спектральной или амплитудно-фазовой характеристикой, годографом) или, короче, спектром заданной функции f(t). F(ω) - амплитудно-частотная характеристика (четная функция частоты); Θ(ω) - фазочастотная характеристика (нечетная функция частоты). F(ω) также называют спектральной плотностью амплитуд или спектральной характеристикой непериодического сигнала; Θ(ω) — спектром фаз или фазовой характеристикой непериодического сигнала.

Равенство (6) представляет собой обратное преобразование Фурье.

Таким образом F(jω) по модулю и фазе характеризует гармонику частоты ω, а выражение (1/2π) F(jω) exp(jωt) представляет собой гармонику с частотой ω функции f(t). Эта гармоника выражена в комплексной форме, имеет бесконечно малую амплитуду и называется элементарной.

Сравнивая формулы прямого и обратного преобразования Лапласа

с формулами прямого и обратного преобразования Фурье, заключаем, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, получается из него при p = jω и применимо для более узкого класса функций f(t). Следовательно частотный спектр F(jω) функции f(t) получается из её Лапласова изображения F(p) по формуле: