56

В операторном виде указанные уравнения имеют вид:

U L ( p) = pL I L ( p) − L iL (0);

I L ( p) = iL (0)

+

1 U L ( p) .

Таким

образом,

p

pL

индуктивное

оператор-

L iL(0) XL(p)=pL

iL (0)

ное

сопротивление:

iL(t)

IL(p)

IL(p)

p

XL(p)=pL, а проводи-

мость: YL(p)=1/pL. Эк-

uL(t)

UL(p)

Y L ( p) =

1

вивалентные оператор-

UL(p)

pL

ные схемы замещения

для

индуктивности

Рис. 3.11.

имеют вид рис. 3.11:

Сравнивая символический метод анализа установившегося режима в цепях переменного синусои-

дального тока и операторный метод анализа переходных процессов, можно видеть, что структура ос-

новных уравнений и вид эквивалентных схем близки, если комплексную частоту jω заменить на опера-

тор p преобразования Лапласа. В операторном методе появляются лишь дополнительные независи-

мые источники тока или ЭДС, характеризующие ненулевые начальные условия элементов схемы.

Временные методы анализа переходных процессов

В ряде электронных схем по принципу действия на цепи воздействуют импульсы напряжения или

тока, отличные от нуля лишь в течение некоторого короткого интервала времени. Рассмотрим способы

определения переходных процессов в цепях при таких воздействиях.

Пусть задан импульс, форма которого изображена на рис. 1. Площадь под кривой, ограничиваю-

щей импульс, равна 1:

t < 0

1

0,

1

, 0 ≤ t

≤ tи

tи

t

δ(t,tи ) =

tи

tи

t > tи

0,

Рис. 3.12.

Предположим теперь, что длительность импульса устремляется к 0, а его площадь остается неиз-

менной и равной 1. Тогда функция δ(t,tи) в пределе будет равна всюду, кроме момента времени t=0+

нулю, а в этот момент обращается в бесконечность, сохраняя площадь, равную 1. При этом функцию

δ(t) называют единичной импульсной функцией, или функцией Дирака. Можно себе представить им-

пульсную функцию площадью, отличной от 1 и равной, например, Sи, как Sи δ(t).

Таким образом, из сказанного следует выполнение условия:

∞∫δ(t)dt =1, где функция δ(t)=0 при t≠0.

0

Воздействие δ-функции на систему называется единичным импульсным воздействием. Если воз-

действует функция Sи δ(t), то это импульсное воздействие.

Рассмотрим вначале реакции простейших цепей на импульсное воздействие (рис. 3.13).

u

(t) =

1 t

S

ИТ

δ(t)dt

= S ИТ

, при t>0+

C

C

∫

С

SИТ δ(t)

C

SИ δ(t)

0

L

Т.е. энергия, сообщаемая емкости равна:

W

=

C u2 (0+)

=

C

S 2

S 2

C

C

2

ИТ =

ИТ

а)

б)

2

С2

2С

Аналогично для индуктивности

Рис. 3.13.

iL

= 1

t

uL (t)dt =

1

t

S И δ(t)dt = SИ ,

при t>0+

L

∫0

L

∫0

L

57

W

=

L i2

=

L

S 2

=

S

2

L

L

2

И

И

2

L2

2L

H ( p) =

1

; U

( p) =

SИ

; u (t) =

SИ

e

−t

RC

R

C

SИТ δ(t)

C

1+ pRC

1+ pRC

C

RC

Таким образом, uC(0+)=SИ/RC, сравним с соответствующим выражением для

Рис. 3.14.

простейшего звена в виде конденсатора (рис. 3.13, а): u

=

SИТ , т. е. В интегри-

C

С

f2 (t) = ∫t

f1(x ) g(t − x )dx = ∫t

f1(t − x ) g(x )dx

0

0

функции 1(t) (рис. 3.15).

58

Изображением 1(t) является, очевидно 1/p (можно найти из прямого

преобразования Лапласа). Для нахождения реакции f2(t) будем рассматри-

1

вать в операторном виде выражение:

t

F ( p) = F ( p) H ( p) = F ( p) H ( p)

p

0

2

1

1

p

Рис. 3.15.

Что такое

H ( p) ? Что является ее оригиналом во временной области?

p

Если

f

1

(t) ÷1(t) ,

то F ( p) =

1 . Тогда

F ( p) = 1 H ( p) = H ( p) . Таким образом реакция

1

p

2

p

p

системы на единичный скачок (переходная характеристика) h(t) имеет изображение по Лапласу H(p)/p,

т.е.:

H ( p)

h(t) ÷

p

Операции деления изображения на p соответствует интегрирование оригинала, а оригиналом H(p)

является импульсная характеристика g(t). Таким образом получаем:

h(t) = ∫t

g(x )dx

0

Как, зная переходную характеристику, рассчитать переходный процесс при произвольном входном

воздействии? Очевидно, реакция f2(t) будет соответствовать свертке оригиналов f1(t) и h(t), продиффе-

ренцированной по времени за счет умножения на p (по теореме о дифференцировании оригинала):

f2 (t) = d

t

f1(x )h(t − x )dx = d

t

f1(t − x )h(x )dx

dt ∫0

dt

∫0

По правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом:

f2 (t) = f1(0)h(t) + ∫t

f1' (x )h(t − x )dx = f1(0)h(t) +∫t

f1' (t − x )h(x )dx .

0

0

Тот же результат может быть получен несколько другим путем (из геометрического смысла инте-

грала Дюамеля). Сложное воздействие может быть представлено как некоторое ступенчатое воздейст-

вие, приложенное в нулевой момент времени, и ряд следующих друг за другом малых воздействий (см.

рис. 3.16). Для линейных цепей справедлив принцип наложе-

f1(t)

ния. Если рассматривать реакцию схемы на воздействие в

некоторый момент времени t0, то эта реакция есть результат

∆f1(x)

наложения реакции на первый импульс и суммы реакций на

ряд бесконечно малых воздействий df1(x)=f1'(x)dx. Тогда, ин-

тегрируя реакции за период времени от 0 до t0, получим ана-

f1(0) 0

∆x

t

логичное выражение.

x

t0-x

t0

Т.к. момент времени, в который определяется реакция

(t0) не имеет существенного значения, то его заменяют на t.

Рис. 3.16.

t

t0

f2 (t0 ) = f1(0) h(t) t=t0 + ∑0

∆f1(x ) h(t0 − x ) = f1(0) h(t) t=t0

+ ∫ f1' (x ) h(t0 − x )dx

0

0

f2 (t) = f1(0) h(t) + ∫t

f1' (x ) h(t − x )dx

0

Указанные соотношения называются интегралом Дюамеля.

Частотный метод анализа переходных процессов

Если f(t) — периодическая функция с периодом Т, удовлетворяющая условию Дирихле (т.е. может

быть представлена в виде конечного числа интервалов, на которых функция монотонна и непрерывна,