Аналитическая геометрия (методичка)

Контрольное задание 3

3.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(2; ¡1; 3) è B(3; 1; 2) параллельно вектору ~a(3; ¡1; 4).

3.12. Составить параметрические уравнения плоскости, проходящей че-

~

рез точку A(2; 3; ¡5) и параллельной векторам ~a(¡5; 6; 4); b(4; ¡2; 0).

3.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку

A(1; 1; 1).

3.14.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости ® : 5x ¡ 3y + 2z ¡ 3 = 0.

3.15.Написать уравнение плоскости ®, которая проходит через точки

A(2; ¡3; 3) è B(4; ¡2; 5) и отсекает на оси аппликат отрезок c = 2.

3.16.Плоскость ¯ проходит через точки A(1; ¡1; ¡2) è B(3; 1; 1) перпендикулярно плоскости ® : x ¡ 2y + 3z ¡ 5 = 0. Составить уравнение плоскости ¯.

3.17.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку R(3; 4; 0) перпендикулярно к двум плоскостям x + y + 5z ¡8 = 0 è 2x + y ¡z + 1 = 0.

3.18.Найти множество точек, равноудаленных от точек A(2; ¡1; 3) è

B(4; 5; ¡3).

4 Прямая в пространстве

Пусть в пространстве выбрана общая декартова система координат и в этой системе известны координаты некоторой точки M0(x0; y0; z0) прямой

Уравнения (21) называются каноническими уравнениями прямой. Параметрические уравнения этой же прямой имеют вид:

8

< x = x0 + p1t;

:y = y0 + p2t; z = z0 + p3t:

Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1) è M2(x2; y2; z2), имеют вид

Для того, чтобы найти канонические уравнения прямой, заданной уравнениями (23), надо знать координаты какой-нибудь точки M0(x0; y0; z0) ýòîé

прямой и некоторого направляющего вектора p~. Точку M0 следует выбрать

Взаимное расположение прямых

Пусть в пространстве даны: прямая d1 точкой M1 и направляющим век- тором p~1 и прямая d2 точкой M2 и направляющим вектором p~2.

1) Как известно, две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Следовательно, для того чтобы данные прямые d1 è d2 были скрещивающимися, необходимо и достаточно, чтобы для них имело место неравенство

¡¡¡!

M1M2p~1p~2 =6 0:

2) Пусть прямые d1 è d2 лежат в одной плоскости, и, следовательно, для

них выполняется условие (25). Эти прямые пересекаются тогда и только тогда, когда их направляющие векторы неколлинеарны.

3) Прямые d1 è d2, лежащие в одной плоскости, параллельны, если они

4) Прямые d1 è d2 совпадают тогда и только тогда, когда векторы p~1, p~2

¡¡¡!

è M1M2 попарно коллинеарны.

Åñëè p~1, p~2 направляющие векторы данных прямых d1 è d2, òî óãîë ® между этими прямыми вычисляется по формуле

cos ® = jp~1jjp~2j:

Отсюда получаем условие перпендикулярности двух прямых (® = 90o):

p~1p~2 = 0. Напомним, что две взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как скрещивающимися, так и пересекающимися.

Решение типовых задач

Пример 4.1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(¡1; 3; ¡5) параллельно прямой

x ¡ 2 = y ¡ 1 = z + 4: ¡3 2 8

Решение: Так как направляющий вектор p~(¡3; 2; 8) данной прямой явля-

ется направляющим вектором искомой прямой, то канонические уравнения можем составить, используя формулы (21):

x + 1 = y ¡ 3 = z + 5: ¡3 2 8

Приравнивая эти выражения к параметру t, получим параметрические уравнения:

Пример 4.2. Составить канонические и общие уравнения прямой d, проходящей через точку P0(4; ¡7; 1) параллельно оси Ox.

Решение: Так как искомая прямая d параллельна оси Ox, то направля-

Записывая два уравнения

½(x ¡ 4) ¢ 0 = (y + 7) ¢ 1; (x ¡ 4) ¢ 0 = (z ¡ 1) ¢ 1;

получаем общие уравнения прямой:

d : ½ y + 7 = 0; z ¡ 1 = 0:

Пример 4.3. Через точку A(0; ¡3; 5) провести прямую l, параллельную

Решение: Координаты направляющего вектора прямой d найдем, исполь-

уравнения имеют вид:

l : ¡x1 = y 13+ 3 = z ¡3 5:

Пример 4.4. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных в аффинной системе координат каноническими уравнениями:

Решение: По этим уравнениям находим точки и направляющие векторы данных прямых:

d1 : M1(2; ¡1; 1); p~1(1; 2; 3); d2 : M2(5; 2; 8); p~2(2; 1; 4):

¡¡¡!

Далее, учитывая, что M1M2(3; 3; 7), приходим к равенству (25):

¡¡¡!

M1M2p~1p~2 = 0:

Значит, данные прямые лежат в одной плоскости. При этом координаты векторов p~1 è p~2 не пропорциональны, поэтому эти векторы не коллинеарны.

Следовательно, прямые d1 è d2 пересекаются.

Пример 4.5. Составить уравнения прямой d, проходящей через точку M0(4; ¡2; 1) и пересекающей две прямые:

Решение: Прямые d è d1 пересекаются, следовательно, они лежат в дной плоскости ®.

Таким образом, плоскость ® определяется парой точек M0, M1 и вектором p~1. Ее векторное уравнение имеет вид:

¡¡¡!¡¡¡!

M0MM0M1p~1 = 0;

¡3(x ¡ 4) + 6(y + 2) ¡ 3(z ¡ 1) = 0; ® : x + 2y + z ¡ 1 = 0:

Аналогично находим уравнение плоскости ¯, в которой лежат прямые d

è d2.

¯ : x + 14y + 12z + 16 = 0:

Искомая прямая d является пересечением плоскостей ® è ¯. Ее уравнения имеют вид: ½

d :

Пример 4.6. В плоскости xOy найти прямую d, проходящую через точку A(1; ¡2; 0) и перпендикулярную прямой

l : x ¡ 4 = y + 7 = z ¡ 1: 3 ¡5 12

Решение: Пусть p~ направляющий вектор искомой прямой d. Òàê êàê

~

прямая d лежит в плоскости xOy, òî p~?k. С другой стороны, d?l, следова-

тельно, вектор p~ ортогонален направляющему вектору p~1(3; ¡5; 12) прямой l. Значит,

Пример 4.7. В прямоугольной декартовой системе координат даны точ- ка M0(¡4; ¡5; 3) и две скрещивающиеся прямые:

Написать уравнения прямой d, проходящей через точку M0 и перпендику- лярной к данным прямым.

è~

Решение. Векторы ~a(3; 2; ¡1) b(2; 3; ¡5) являются направляющими векторами данных прямых, поэтому вектор

~

p~ = ~a £ b;

ром прямой d. Найдем координаты вектора p~:

Канонические уравнения прямой d имеют вид:

d : x¡+74 = y 13+ 5 = z ¡5 3:

Пример 4.8. Вычислить угол между прямыми, заданными в прямоугольной системе координат своими каноническими уравнениями:

Решение: По каноническим уравнениям данных прямых находим координаты их направляющих векторов: p~1(4; 3; ¡1) è p~2(¡1; 3; 5). Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

p~1 ¢ p~2 = 4 ¢ (¡1) + 3 ¢ 3 + (¡1) ¢ 5 = 0;

следовательно, данные прямые взаимно перпендикулярны.

Выясним, пересекаются ли данные прямые или скрещиваются. Имеем на первой прямой точку M1(2; ¡1; 0) и на второй прямой точку M2(1; 0; 1). Ýòè

¡¡¡!

точки определяют вектор M1M2(¡1; 1; 1). Находим

Следовательно, данные прямые скрещиваются.

Задачи для самостоятельной работы 4

4.1.Составить канонические, параметрические и общие уравнения прямой, проходящей через точки A(3; 5; 7) è B(2; ¡3; 1).

4.2.Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

½x + y ¡ 3z ¡ 1 = 0;

2x ¡ y ¡ 9z ¡ 2 = 0

4.3. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости 3x ¡ y ¡ 7z + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ox и точку

E(3; 2; ¡5).

4.4. Даны вершины треугольника A(1; ¡2; ¡4), B(3; 1; ¡3), C(5; 1; ¡7). Ñî-

ставить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины B на противоположную сторону.

4.5. Даны вершины треугольника A(3; ¡1; ¡1), B(1; 2; ¡7), C(¡5; 14; ¡3).

Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине C.

4.6. Доказать, что прямые

пересекаются. Написать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

4.7. Найти острый угол между прямыми:

Контрольное задание 4

4.10.Составить параметрические и канонические уравнения прямой

½2x + 3y ¡ z ¡ 4 = 0; 3x ¡ 5y + 2z + 1 = 0:

4.11.Составить канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точку P (¡5; 3; 4) параллельно прямой

8

< x = 3t + 2;

y = 2t + 1;

:z = ¡t ¡ 5:

4.12.Даны вершины треугольника A(3; 6; ¡7), B(¡5; 2; 3), C(4; ¡7; ¡2).

Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины C.

4.13. В плоскости yOz найти прямую, которая проходит через точку

A(0; ¡3; 2) перпендикулярно прямой

½

4.14. Выяснить взаимное расположение прямых

5 Прямая и плоскость в пространстве

Пусть в пространстве даны прямая d точкой M0(x0; y0; z0) и направляющим

вектором p~(p1; p2; p3) и плоскость ¾ : Ax + By + Cz + D = 0. Возможны следующие случаи их взаимного расположения:

1) Прямая d пересекает плоскость ¾ тогда и только тогда, когда направляющий вектор p~ прямой d не параллелен плоскости ¾ т. е. когда

Ap1 + Bp2 + Cp3 =6 0:

2) Прямая d параллельна плоскости ¾ тогда и только тогда, когда вектор p~ параллелен плоскости ¾ и точка M0 не лежит в этой плоскости. Итак,

выражают необходимое и достаточное условие того, что прямая d параллельна плоскости ¾.

3) Аналогично, прямая d лежит в плоскости ¾ тогда и только тогда, когда выполняются равенства:

½Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0; Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0:

Определение. Если прямая d не перпендикулярна к плоскости ¾, то углом между прямой d и плоскостью ¾ называется острый угол между прямой d и ее проекцией на плоскость ¾. Если же прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90o.