Аналитическая геометрия (методичка)

т. е. точка A имеет координаты (¡1; 3).

Аналогично находим координаты точки пересечения прямых BC è CK: C(1; ¡2). Теперь уравнение прямой AC можно записать по двум точкам:

Ответ: 3x ¡ 5y ¡ 13 = 0, 8x ¡ 3y + 17 = 0, 5x + 2y ¡ 1 = 0.

Пример 2.4. Найти точку P1, симметричную точке P (8; ¡9) относительно прямой, проходящей через точки A(3; ¡4) è B(¡1; ¡2).

Решение. 1) Составим уравнение прямой AB:

AB : x + 2y + 5 = 0:

2) Так как точка P1 симметрична точке P относительно прямой AB, òî:

P P1?AB ) P P1 : 2x ¡ y + C = 0:

P 2 P P1 ) 2 ¢ 8 + 9 + C = 0; ) C = ¡25:

Уравнение прямой P P1 имеет вид: 2x ¡ y ¡ 25 = 0.

3) Координаты точки O пересечения прямых P P1 è AB найдем из систе-

4) Пусть P1(x1; y1). Точка O середина отрезка P P1, следовательно, име-

Пример 2.7. Составить уравнение катета AC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, зная уравнение гипотенузы 3x ¡ y + 5 = 0 и вершину прямого угла C(4; ¡1).

Решение.

Запишем уравнения данной и искомой прямых с угловым коэффициен-

Так как треугольник ABC равнобедренный прямоугольный, то его острые

углы равны по 45o. Для нахождения углового коэффициента k2 воспользу- емся формулой нахождения направленного угла между прямыми:

Уравнение прямой AC принимает вид:

AC : y = ¡2x + b;

è òàê êàê C 2 AC, òî ¡1 = ¡2 ¢ 4 + b, откуда b = 7. Окончательно

AC : y = ¡2x + 7 èëè 2x + y ¡ 7 = 0:

Ответ: 2x + y ¡ 7 = 0.

Пример 2.8. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; ¡1), а также уравнения высоты 3x ¡ 4y + 27 = 0 и биссек-

трисы x + 2y ¡ 5 = 0, проведенных из различных вершин.

Решение. 1) Так как координаты точки B не удовлетворяют ни одному из

данных уравнений, то можно можно предположить, что высота проведена из точки A, тогда биссектриса выходит из точки C. Обозначим

AH : 3x ¡ 4y + 27 = 0; CD : x + 2y ¡ 5 = 0:

2) Запишем уравнение прямой BC:

BC ? AH ) BC : 4x + 3y + C = 0:

B 2 BC ) 4 ¢ 2 + 3 ¢ (¡1) + C = 0 ) C = ¡5:

Уравнение прямой BC имеет вид 4x + 3y ¡ 5 = 0.

3) Для того чтобы составить уравнение прямой AC, найдем сначала координаты точки C, которая является точкой пересечения прямых BC è DC.

Решая систему уравнений ½ 4x + 3y = 5;

x + 2y = 5;

получим, что точка C имеет координаты (¡1; 3).

Прямая DC - биссектриса внутреннего угла трегольника. Используем это условие для вычисления углового коэффициента прямой AC. Запишем уравнения прямых BC, CD, AC с угловым коэффициентом:

Òàê êàê 6(BC; CD) = 6(CD; AC), то приравнивая правые части равенств и

подставляя значения k1 è k2, получаем k = 0. Уравнение прямой AC принимает вид y = b. Учитывая, что C 2 AC, окончательно получаем уравнение

AC : y ¡ 3 = 0.

4) Для составления уравнения последней стороны треугольника AB вы- числим координаты точки A пересечения прямых AC è AH:

½

) A(¡5; 3):

Запишем уравнение прямой AB по двум точкам:

Задачи для самостоятельной работы 2

2.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(¡3; 4) и перпендикулярной прямой: а) x ¡ 2y + 5 = 0; á) x = 3 + t; y = 4 ¡ 7t;

2.2.Найти проекцию точки P (¡6; 4) на прямую l : 4x ¡ 5y + 3 = 0.

2.3.Даны уравнения стороны AB : 2x ¡ 3y + 6 = 0 треугольника ABC

èуравнения двух его высот AH : 2x + y ¡ 2 = 0, BK : x + 3y ¡ 12 = 0. Составить уравнения двух других сторон.

2.4.Даны вершины треугольника A(2; ¡2); B(3; ¡5) è C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины C на биссектрису внутреннего угла при вершине A.

2.5.ABCD ромб. Известны уравнения прямых AB : x + 3y + 12 = 0,

CD : x + 3y ¡ 8 = 0, AC : x ¡ 2y + 2 = 0. Составить уравнения прямых

BC è AD.

2.6. Две стороны прямоугольника лежат на прямых 5x + 2y ¡ 7 = 0 è

5x + 2y ¡ 36 = 0, уравнение одной из его диагоналей 3x + 7y ¡ 10 = 0. Составить уравнения остальных сторон этого прямоугольника.

2.7. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(4; ¡1) и уравнения двух его биссектрис x ¡ 1 = 0 è x ¡ y ¡ 1 = 0.

2.8. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; ¡7) и уравнения высоты 3x + y + 11 = 0 и медианы x + 2y + 7 = 0,

проведенных из различных вершин.

2.9. Даны уравнение одной из сторон квадрата x + 3y ¡ 3 = 0, è òî÷-

ка пересечения диагоналей (¡2; 0). Составить уравнения его диагоналей и остальных сторон. Определить координаты вершин квадрата.

Контрольное задание 2

2.10. Точка H(¡2; 5) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую l. Написать уравнение прямой l.

2.11. Даны уравнения прямых l1 : 3x + 4y ¡ 7 = 0, l2 : 2x ¡ y ¡ 1 = 0, содержащих высоты треугольника, и координаты одной из вершин треугольника A(5; ¡3). Вычислить координаты двух других вершин треуголь-

íèêà ABC.

2.12. В треугольнике ABC даны, уравнение стороны AB : 5x¡3y +2 = 0,

уравнения высот AM : 4x ¡3y + 1 = 0 è BN : 7x + 2y ¡22 = 0. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

2.13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; ¡1), а также уравнения его высоты 2x ¡ 3y + 12 = 0 и медианы

2x + 3y = 0, проведенных из одной вершины.

2.14.Даны вершины треугольника A(¡10; ¡13), B(¡2; 3) è C(2; 1). Вы- числить длину перпендикуляра, опущенного из вершины B на медиану, проведенную из вершины C.

2.15.Вычислить площадь треугольника, вершинами которого служат

точки A(4; 2), B(9; 4), C(7; 6).

2.16.Даны одна из вершин A(2; ¡3) прямоугольника и уравнения двух его

сторон 2x ¡ 3y + 5 = 0, 3x + 2y ¡ 7 = 0. Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника. Найти его площадь.

2.17. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; ¡1), а также уравнения высоты 2x¡3y+12 = 0 и медианы 2x+3y = 0,

проведенных из одной вершины.

2.18. Луч света направлен по прямой x + y + 3 = 0. Дойдя до прямой

3x ¡ y + 5 = 0, он отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

3Уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей

ãäå M(x; y; z) текущая точка плоскости

Используя это равенство, запишем уравнение плоскости ¾ в координатной форме

мой точки: M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3), заданные своими координатами имеет вид

где вектор ~n(A; B; C) является вектором нормали к плоскости.

Если плоскость не проходит через начало координат (D 6= 0), то уравнение плоскости в отрезках имеет вид

ãäå a; b; c величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox, Oy, Oz соответственно.

Возможны следующие случаи взаимного расположения двух плоскостей, заданных уравнениями

Применим (20) к вычислению расстояния между двумя параллельными плоскостями.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат плоскости ¾1 è ¾2 заданы уравнениями

¾1 : Ax + By + Cz + D1 = 0;

¾2 : Ax + By + Cz + D2 = 0:

Вычислим расстояние ½(¾1; ¾2).

Отметим, что ¾1 действительно параллельна ¾2, так как они перпенди- кулярны одному и тому же вектору ~n(A; B; C), но не совпадают, так как

D1 6= D2.

Пусть M0(x0; y0; z0) 2 ¾1, тогда

Òàê êàê M0(x0; y0; z0) 2 ¾1, òî Ax0 + By0 + Cz0 = ¡D1, следовательно,

Если в прямоугольной системе координат две пересекающиеся плоскости заданы уравнениями (19), то косинус угла между ними определяется косинусом угла между нормалями ~n1(A1; B1; C1) è ~n2(A2; B2; C2) к этим плоскостям

когда ~n1~n2 = 0, т. е. когда A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Решение типовых задач

Пример 3.1. Точка H(3; ¡2; 1) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P (5; ¡5; ¡3) на плоскость ®. Составить уравнение плоскости ®.

Решение. Так как точка H является основанием перпендикуляра, опу-

¡¡!

щенного из точки P на плоскость ®, òî HP вектор нормали к искомой

плоскости. Значит, ее уравнение может быть записано с использованием формулы (14):

Пример 3.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(4; 1; ¡3) è B(7; ¡1; 2) параллельно оси Oy.

¡5(x ¡ 4) + 3(z + 3) = 0; ¾ : 5x ¡ 3z ¡ 29 = 0:

Пример 3.3. Составить уравнение плоскости ¾, проходящей через точку A(5; ¡2; 0) перпендикулярно плоскостям

® : 7x ¡ 2y ¡ 5 = 0 è ¯ : 5x ¡ 2y ¡ z ¡ 7 = 0:

Аналогично, ~n¯ k ¾. Так как векторы ~n® è ~n¯ неколлинеарны, то плоскость ¾ задается точкой A и парой векторов ~n® è ~n¯, значит, ее уравнение имеет

âèä (12):