Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическая геометрия (методичка)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2015

Размер:

284 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Óãîë ' между прямой d и плоскостью ¾ вычисляется по формуле

sin ' =	jn~pj	sin ' =		jAp1	+ Bp2 + Cp3j			:

	j~njjp~j èëè		p			pp12 + p22	+ p32
				A2 + B2	+ C2

Решение типовых задач

Пример 5.1. Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости, заданных в аффинной системе координат уравнениями:


x	=	y + 1	=	z ¡ 3		; 3x + 6y + z	¡	8 = 0:
10
	4		¡		6
	¡

Решение. По каноническим уравнениям прямой находим на данной прямой точку M0(0; ¡1; 3) и направляющий вектор p~(10; ¡4; ¡6) этой прямой. Имеем:

Ap1 + Bp2 + Cp3 = 3 ¢ 10 + 6 ¢ (¡4) + 1 ¢ (¡6) = 0;

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 3 ¢ 0 + 6 ¢ (¡1) + 1 ¢ 3 ¡ 8 6= 0:

Следовательно, прямая и плоскость параллельны.

Пример 5.2. Даны две скрещивающиеся прямые:

d0 :

x ¡ 2

y ¡ 4

z + 3

; d1 :

x + 5

y ¡ 1

z ¡ 2

¡1

¡2

¡3

Написать уравнение плоскости ¾, проходящей через прямую d0 параллель- но прямой d1.

Решение. Прямая d0 проходит через точку M0(2; 4; ¡3) и параллельна

								~
вектору ~a(¡1; 7; 3), а прямая d1 параллельна вектору b(¡2; 1; ¡3). Поэтому
плоскость ¾ проходит через точку M0					и параллельна векторам ~a				è ~
плоскость ¾ проходит через точку M0					и параллельна векторам ~a				b. Åå
уравнение имеет вид:	¯	¡2		1		3	¯
	¯	¡2		1		3	¯
	¯	x	2	y ¡ 4	z + 3		¯	= 0;
	¯		¡1	7	3		¯	= 0;
	¯	¡			¡		¯
	¯	¡			¡		¯
	¯						¯
	¯						¯

¡24(x ¡ 2) ¡ 9(y ¡ 4) + 13(z + 3) = 0; ¾ : 24x + 9y ¡ 13z ¡ 123 = 0:

Пример 5.3. Прямая проходит через точки (2; ¡1; 3) è B(0; 2; ¡1). Найдите точку пересечения этой прямой с плоскостью ® : 3x ¡ y + z + 3 = 0.

Решение. Вектор

¡!(¡2; 3; ¡4)

направляющий вектор прямой AB. Ñî-

ставим параметрические уравнения прямой

x = 2 ¡ 2t;

Åñëè P = AB

®, òî

AB : 8 y = ¡1 + 3t;

P удовлетворяют системе урав-

< z = 3 ¡ 4t:

нений:

координаты точки

x = 2 ¡ 2t;

> z = 3

4t;

8 y = ¡1 + 3t;

3(2

2 )

(

1 +>

)

3x ¡ y + z = 0:

3t) + (3 4t) + 3 = 0;

t = 1:

Подставляя найденное значение t, получим координаты точки пересечения

P (0; 2; ¡1).

Пример 5.4. Даны точка P (2; 1; 1) и плоскость ® : 2x ¡ y ¡ z + 10 = 0. Найти проекцию точки P на плоскость ®.

Решение. Пусть P 0 проекция точки P на плоскость ®. Тогда P P 0?®, следовательно, вектор нормали ~n(2; ¡1; ¡1) плоскости ® является направляющим вектором прямой P P 0. Параметрические уравнения прямой P P 0

имеют вид:	8 x = 2 + 2t;
	<

y = 1 ¡ t;

:z = 1 ¡ t:

Òàê êàê P 0 = P P 0 T®, то координаты точки P 0 находим из системы:

> x = 2 + 2t;

< y = 1 ¡ t; ) P 0(¡2; 3; 3):

> z = 1 ¡ t;

: 2x ¡ y ¡ z + 10 = 0;

Пример 5.5. Напишите уравнение плоскости °, проходящей через пря-

ìóþ
d :	x ¡ 1	=	y + 5	=	z ¡ 2

1		2		2

перпендикулярно плоскости ¯ : 2x ¡ 3y + 5z ¡ 1 = 0.

Решение. Прямая d проходит через точку M0(1; ¡5; 2) параллельно вектору p~(1; 2; 2). Так как плоскость ° содержит прямую d, òî M0 2 ° è p~k°. Кроме того, °?¯, значит, вектор нормали ~n(2; ¡3; 5) плоскости ¯ паралле-

лен плоскости °. Таким образом, ° = (M0; p;~ ~n) и уравнение ° имеет вид:

¯	2	3	5	¯
¯	x ¡ 1	y + 5	z ¡ 2	¯
¯	1	¡	2	¯	= 0;
¯	1	2	2	¯	= 0;
¯				¯
¯				¯

16(x ¡ 1) ¡ (y + 5) ¡ 7(z ¡ 2) = 0; ° : 16x ¡ y ¡ 7z ¡ 7 = 0:

Пример 5.6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку P (¡4; 5; 1) перпендикулярно прямой

½x + 2y ¡ z + 1 = 0; x ¡ y + z ¡ 1 = 0:

Решение. Направляющий вектор данной прямой будет вектором нормали
к искомой плоскости. Найдем его координаты:
	¯	1		1	1	¯
		~	~		~
	¯	i	j		k	¯	=~i ¡ 2~j ¡ 3~k; p~(1; ¡2; ¡3):
p~ =	¯	1	2		¡1	¯	=~i ¡ 2~j ¡ 3~k; p~(1; ¡2; ¡3):
	¯		¡			¯
	¯					¯
	¯					¯

Запишем уравнение плоскости:

(x + 4) ¡ 2(y ¡ 5) ¡ 3(z ¡ 1) = 0; x ¡ 2y ¡ 3z + 17 = 0:

Задачи для самостоятельной работы 5

5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку K(3; 1; ¡2)

и прямую

x + 1

y ¡ 3

¡2

5.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x ¡ 3

y + 4

z ¡ 2

x + 5

y ¡ 2

z ¡ 1

и параллельной прямой

¡3

5.3. Доказать, что прямые				8 y = 2 + 2t;
	x ¡ 1 = y + 2 = z ¡ 52;			8 y = 2 + 2t;
				x = 7 + 3t;
				:
лежат в одной плоскости, и составить				:
2		¡3	4	< z = 1 ¡ 2t

уравнение этой плоскости.

5.4. Написать уравнения прямой, проходящей через точку A(2; 3; ¡1), ïå-

ресекающей прямую

x ¡ 1

y ¡ 2

3 и перпендикулярной к ней.

5.5. Найти координаты проекции точки P (¡2; 3; 5) на прямую

x = 4 + 2t;

8 y = ¡2 ¡ 2t;

x + 5 : y

< z = 8 + 3t:

5.6. Через прямую

провести плоскость, парал-

лельную плоскости x + y ¡ z + 15 = 0.

5.7. Найти проекцию прямой

x ¡ 3

y ¡ 4

z ¡ 6

на плоскость

Oxy.

¡5

Контрольное задание 5

5.8. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0(2; ¡4; ¡1) и середину отрезка прямой

½3x + 4y + 5z ¡ 26 = 0; 3x ¡ 3y ¡ 2z ¡ 5 = 0;

заключенного между плоскостями 5x+3y¡4z+11 = 0, 5x+3y¡4z+11 = 0.

5.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P (4; ¡3; 1)

и параллельной прямым:

x + 1

y ¡ 3

z ¡ 4

3 è

5.10. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (0; 0; 1) и пересекающей каждую из прямых:

½	x ¡ 2y + z ¡ 1 = 0;	x ¡ 1	=	y	=	z + 1	:
		3
	2x ¡ y + 2z ¡ 3 = 0 è		2		¡1

5.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллель-

ные прямые

x ¡ 2

y + 1

z ¡ 3

x ¡ 1

y ¡ 2

z + 3

¡2 è

¡2

6 Варианты индивидуальных заданий

Задача 1. Даны вершина A параллелограмма ABCD и уравнения двух его сторон. Составить уравнение прямой, проходящей через A параллельно диагонали BD.

1.	1.	A(1; ¡1),	2x ¡ 3y + 6 = 0,		5x ¡ 2y + 4 = 0.
1.	2.	A(3; ¡4),	2x + y + 5 = 0,	5x + 6y ¡ 12 = 0.
1.	3.	A(2; 6),	8x + 5y ¡ 14 = 0,		x ¡ y ¡ 9 = 0.
1.	4.	A(0; 2),	5x ¡ 2y ¡ 7 = 0,	3x ¡ y ¡ 5 = 0.
1.	5.	A(4; 1),	2x ¡ 3y + 6 = 0,	3x + y ¡ 2 = 0.
1. 6.		A(¡9; 6),	x ¡ 3y + 6 = 0,	5x + 6y ¡ 12 = 0.
1.	7.	A(3; 4),	3x + y ¡ 2 = 0,	5x ¡ 2y + 4 = 0.
1.	8.	A(4; ¡5),	5x + 8y ¡ 19 = 0,		8x + 5y ¡ 46 = 0.
1. 9.		A(¡3; 1),	7x ¡ 12y + 24 = 0,		2x + y ¡ 2 = 0.

1.	10.	A(¡2; ¡3),		5x ¡ 2y ¡ 7 = 0,		2x ¡ 3y + 6 = 0.
1.	11.	A(¡6; 7),		x ¡ 3y + 6 = 0,	2x + y ¡ 2 = 0.
1.	12.	A(¡1; 3),		x ¡ y ¡ 9 = 0, 5x + 8y + 20 = 0.
1.	13.	A(0; 2),	5x ¡ 2y ¡ 7 = 0,		2x ¡ 3y ¡ 5 = 0.
1.	14.	A(¡12; ¡5),		2x + y ¡ 2 = 0,		x + 3 = 0.
1.	15.	A(1; ¡1),		3x + y ¡ 13 = 0,	5x ¡ 2y + 4 = 0.
1.	16.	A(¡4; 0),		5x + 8y ¡ 19 = 0,		x ¡ y ¡ 9 = 0.
1.	17.	A(¡3; 8),		x ¡ 3y + 6 = 0,	2x + y + 5 = 0.
1.	18.	A(7; ¡2),		x ¡ y + 4 = 0, 5x + 8y + 20 = 0.
1.	19.	A(3; 4),	2x ¡ 3y ¡ 5 = 0,		5x ¡ 2y + 4 = 0.
1.	20.	A(0; 2),	2x + y + 5 = 0, x ¡			3y + 27 = 0.
1.	21.	A(7; ¡2),		8x + 5y ¡ 14 = 0,		5x + 8y + 20 = 0.
1.	22.	A(¡3; 1),		2x + y ¡ 2 = 0,	x ¡ 3y + 27 = 0.
1.	23.	A(0; 9),	x + 3 = 0, x ¡ 3y +			6 = 0.
1.	24.	A(2; 7),	5x ¡ 2y ¡ 7 = 0,		3x + y ¡ 2 = 0.
1.	25.	A(12; ¡10),		5x + 8y ¡ 19 = 0,		8x + 5y ¡ 14 = 0.

Задача 2. Треугольник ABC задан координатами вершин. Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A.


2.	1.	A(2; ¡2),		B(3; ¡5),			C(5; 7).
2.	2.	A(2; 4),	B(3;		7),	C(5; ¡5).
2.	3.	A(2; ¡4),		B(3; ¡1),			C(5; ¡13).
2.	4.	A(4; ¡2),		B(3; ¡5),			C(1; 7).
2.	5.	A(2; ¡4),		B(3; ¡7),			C(5; 5).
2.	6.	A(2; 2),	B(3;		5),	C(5; ¡7).
2.	7.	A(2; 4),	B(3;		1),	C(5; 13).
2.	8.	A(0; ¡2),		B(¡1; ¡5),			C(¡3; 7).
2.	9.	A(6; ¡2),		B(5; ¡5),			C(3; 7).
2.	10.	A(¡2; ¡2),			B(¡3; ¡5),			C(¡5; 7).
2.	11.	A(¡6; 2),		B(¡5; 5),			C(¡3; ¡7).
2.	12.	A(0; ¡2),		B(1; ¡5),			C(3; 7).
2.	13.	A(2; ¡2),		B(3; 1),			C(5; ¡11).
2.	14.	A(¡2; 4),		B(¡3; 7),			C(¡5; ¡5).
2.	15.	A(6; 2),		B(5; 5),		C(3; ¡7).
2.	16.	A(0; 2),		B(¡1; 5),			C(¡3; ¡7).
2.	17.	A(¡2; 2),		B(¡3; 5),			C(¡5; ¡7).
2.	18.	A(¡4; ¡2),			B(¡3; ¡5),			C(¡1; 7).
2.	19.	A(¡2; ¡4),			B(¡3; ¡1),			C(¡5; ¡13).
2.	20.	A(¡2; ¡4),			B(¡3; ¡7),			C(¡5; 5).
2.	21.	A(¡4; 2),		B(¡3; 5),			C(¡1; ¡7).
2.	22.	A(0; 2),		B(1; 5),		C(3; ¡7).
2.	23.	A(2; 10),		B(3; 13),			C(5; 1).
2.	24.	A(4; 2),		B(3; 5),		C(1; ¡7).
2.	25.	A(¡2; 4),		B(¡3; 1),			C(¡5; 13).

Задача 3. Найти проекцию точки K на прямую, проходящую через точ- ки A è B.


3.	1.	K(6; 3),	A(3; 5),		B(6; ¡7).
3.	2.	K(¡2; ¡10),		A(¡6; 0),			B(3; 1).
3.	3.	K(¡5; 11),		A(17; 3),		B(2; ¡4).
3.	4.	K(¡9; 4),	A(4; ¡7),			B(3; 5).
3.	5.	K(4; ¡3),	A(1; ¡5),			B(9; 0).
3.	6.	K(6; 3),	A(3; ¡4),		B(0; ¡7).
3.	7.	K(4; ¡8),	A(¡13; 5),			B(¡4; 3).
3.	8.	K(¡4; ¡9),		A(¡1; 10),			B(14; 5).
3.	9.	K(¡6; ¡11),		A(6; ¡9),			B(11; ¡2).
3.	10.	K(4; ¡8),		A(12; ¡1),			B(3; ¡7).
3.	11.	K(¡7; ¡1),		A(9; 12),			B(¡1; 7).
3.	12.	K(¡4; ¡3),		A(12; ¡7),			B(3; 8).
3.	13.	K(3; 2),	A(11; 13),			B(7; 5).
3.	14.	K(7; 7),	A(¡2; 5),			B(0; 13).
3.	15.	K(3; 8),	A(7; ¡8),			B(¡6; 5).
3.	16.	K(¡4; ¡1),		A(18; ¡3),			B(11; 4).
3.	17.	K(14; ¡4),		A(9; 8),		B(3; ¡1).
3.	18.	K(5; ¡4),		A(¡12; 5),			B(0; 3).
3.	19.	K(7; ¡10),		A(14; ¡5),			B(8; 1).
3.	20.	K(¡6; 13),		A(1; 2),		B(16; 7).
3.	21.	K(¡5; 5),		A(3; ¡3),		B(5; 15).
3.	22.	K(¡7; 9),		A(4; ¡1),		B(12; 1).
3.	23.	K(¡3; 9),		A(¡4; 2),		B(5; ¡7).
3.	24.	K(11; ¡10),		A(15; ¡3),			B(5; ¡8).
3.	25.	K(¡3; 2),		A(12; ¡3),			B(¡4; 5).

Задача 4. Даны уравнение одной из сторон квадрата и точка P пересе- чения его диагоналей. Определить координаты вершин квадрата.

4. 1.		2x ¡ y ¡ 1 = 0,			P (¡0; 5; ¡0; 5).
4.	2.		x ¡ 3y ¡ 1 =	0,	P (0; ¡2).
4. 3.		3x + y + 2 = 0,			P (¡2; ¡1).
4. 4.		3x ¡ 2y ¡ 5 = 0,				P (0; 5; 1; 5).
4. 5.		x + 2y + 4 = 0,			P (¡0; 5; ¡0; 5).
4. 6.		x ¡ 3y ¡ 1 = 0,			P (¡1; 1).
4.	7.		9x ¡ y ¡ 48 = 0,			P (1; 2).
4. 8.		2x + 3y ¡ 12 = 0,				P (0; 5; 1; 5).
4.	9.		3x + y + 2 = 0,		P (1; 0).
4.	10.		4x ¡ 5y ¡ 29 = 0,			P (4; 5; 3; 5).
4.	11.		5x + y ¡ 4 = 0,			P (3; 2).
4.	12.		x + 2y ¡ 1 = 0,			P (¡0; 5; ¡0; 5).
4.	13.		5x + y ¡ 4 = 0,			P (¡2; 1).
4.	14.		5x + 4y ¡ 54 = 0,			P (4; 5; 3; 5).
4.	15.		x ¡ 5y + 7 = 0,			P (0; 4).
4.	16.		2x ¡ y + 3 = 0,			P (¡0; 5; ¡0; 5).
4.	17.		3x ¡ 2y + 8 = 0,			P (0; 5; 1; 5).
4.	18.		x ¡ 5y + 7 = 0,			P (1; ¡1).
4.	19.		x + 9y ¡ 19 = 0,			P (5; ¡3).
4.	20.		4x ¡ 5y + 6 = 0,			P (4; 5; 3; 5).
4.	21.		9x ¡ y ¡ 48 = 0,			P (10; 1).
4.	22.		x + 9y ¡ 19 = 0,			P (6; 6).
4.	23.		4x ¡ 5y + 6 = 0,			P (10; 1).
4.	24.		5x + 4y ¡ 13 = 0,			P (4; 5; 3; 5).
4.	25.		2x + 3y + 1 = 0,			P (0; 5; 1; 5).

Задача 5. Найти координаты точки A, равноудаленной от точек B è

5.	1.	A(x; 0; 0),	B(0; 1; 3),	C(2; 0; 4).
5.	2.	A(0; y; 0),	B(3; 0; 3),	C(0; 2; 4).
5.	3.	A(0; 0; z),	B(10; 0; ¡2),	C(9; ¡2; 1).
5.	4.	A(x; 0; 0),	B(4; 0; 5),	C(5; 4; 2).
5.	5.	A(0; y; 0),	B(1; 6; 4),	C(5; 7; 1).
5.	6.	A(0; 0; z),	B(¡18; 1; 0),	C(15; ¡10; 2).
5.	7.	A(x; 0; 0),	B(8; 1; ¡7),	C(10; ¡2; 1).
5.	8.	A(0; y; 0),	B(3; 5; 6),	C(1; 2; 3).
5.	9.	A(0; 0; z),	B(¡5; ¡5; 6), C(¡7; 6; 2).

5.	10. A(x; 0; 0),	B(4; 5; ¡2),	C(2; 3; 4).
5.	11. A(0; y; 0),	B(¡2; 8; 10),		C(6; 11; ¡2).
5.	12. A(0; 0; z),	B(¡13; 4; 6),		C(10; ¡9; 5).
5.	13. A(x; 0; 0),	B(¡2; 0; 6),	C(0; ¡2; ¡4).
5.	14. A(0; y; 0),	B(¡2; ¡4; 6),		C(7; 2; 5).
5.	15. A(0; 0; z),	B(¡1; ¡1; ¡6),		C(2; 3; 5).
5.	16. A(x; 0; 0),	B(1; 5; 9),	C(3; 7; 11).
5.	17. A(0; y; 0),	B(2; 2; 4),	C(0; 4; 2).
5.	18. A(0; 0; z),	B(3; 1; 3),	C(1; 4; 2).
5.	19. A(x; 0; 0),	B(4; 6; 8),	C(2; 4; 6).
5.	20. A(0; y; 0),	B(0; ¡4; 1),	C(1; ¡3; 5).
5.	21. A(0; 0; z),	B(3; 3; 1),	C(4; 1; 2).
5.	22. A(x; 0; 0),	B(1; 2; 3),	C(2; 6; 10).
5.	23. A(0; y; 0),	B(0; 5; ¡9),	C(¡1; 0; 5).
5.	24. A(0; 0; z),	B(5; 1; 0),	C(0; 2; 3).
5.	25. A(x; 0; 0),	B(¡2; ¡4; ¡6),		C(¡1; ¡2; ¡3).

Задача 6. Пирамида ABCD задана координатами вершин. Составить уравнение плоскости ABC. Найти расстояние от вершины D до плоскости ABC.

6. 1. A(¡3; 4; ¡7), B(1; 5; ¡4), C(¡5; ¡2; 0), D(¡12; 7; ¡1) 6. 2. A(¡1; 2; ¡3), B(4; ¡1; 0), C(2; 1; ¡2), D(1; ¡6; ¡5) 6. 3. A(¡3; ¡1; 1), B(¡9; 1; ¡2), C(3; ¡5; 4), D(¡7; 0; ¡1) 6. 4. A(1; ¡1; 1), B(¡2; 0; 3), C(2; 1; ¡1), D(¡2; 4; 2)

6. 5. A(1; 2; 0), B(1; ¡1; 2), C(0; 1; ¡1), D(2; ¡1; 4) 6. 6. A(1; 0; 2), B(1; 2; ¡1), C(2; ¡2; 1), D(¡5; ¡9; 1)

6. 7. A(1; 2; ¡3), B(1; 0; 1), C(¡2; ¡1; 6), D(3; ¡2; ¡9)

6. 8. A(3; 10; ¡1), B(¡2; 3; ¡5), C(¡6; 0; ¡3), D(¡6; 7; ¡10) 6. 9. A(¡1; 2; 4), B(¡1; ¡2; ¡4), C(3; 0; ¡1), D(¡2; 3; 5)

6. 10. A(0; ¡3; 1), B(¡4; 1; 2), C(2; ¡1; 5), D(¡3; 4; ¡5) 6. 11. A(1; 3; 0), B(4; ¡1; 2), C(3; 0; 1), D(4; 3; 0)

6. 12. A(¡2; ¡1; ¡1), B(0; 3; 2), C(3; 1; ¡4), D(¡21; 20; ¡16) 6. 13. A(¡3; ¡5; 6), B(2; 1; ¡4), C(0; ¡3; ¡1), D(3; 6; 68)

6. 14. A(2; ¡4; ¡3), B(5; ¡6; 0), C(¡1; 3; ¡3), D(2; ¡10; 8) 6. 15. A(1; ¡1; 2), B(2; 1; 2), C(1; 1; 4), D(¡3; 2; 7)

6. 16. A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(¡1; 0; 1), D(5; ¡4; 5)

6. 17. A(¡4; 2; 6), B(2; ¡3; 0), C(¡10; 5; 8), D(¡12; 1; 8) 6. 18. A(7; 2; 4), B(7; ¡1; ¡2), C(¡5; ¡2; ¡1), D(10; 1; 8) 6. 19. A(2; 1; 4), B(3; 5; ¡2), C(¡7; ¡3; 2), D(¡3; 1; 8)

6. 20. A(¡1; ¡5; 2), B(¡6; 0; ¡3), C(3; 6; ¡3), D(10; ¡8; ¡7) 6. 21. A(0; ¡1; ¡1), B(¡2; 3; 5), C(1; ¡5; ¡9), D(¡4; ¡13; 6) 6. 22. A(5; 2; 0), B(2; 5; 0), C(1; 2; 4), D(¡3; ¡6; ¡8)

6. 23. A(2; ¡1; ¡2), B(1; 2; 1), C(5; 0; ¡6), D(14; ¡3; 7) 6. 24. A(¡2; 0; ¡4), B(¡1; 7; 1), C(4; ¡8; ¡4), D(¡6; 5; 5)

6. 25. A(14; 4; 5), B(¡5; ¡3; 2), C(¡2; ¡6; ¡3), D(¡1; ¡8; 7)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201621 Кб21акты по защите молодежи.docx
#
01.07.2025121 Кб3Акцентная структура слова..doc
#
01.07.2025300 Кб2АМИНОКИСЛОТЫ.doc
#
01.05.2025164 Кб2Аммиак и хлор.docx
#
21.03.20154 Мб45Аналитическая геометрия (конспект лекций).doc
#
21.03.2015284 Кб81Аналитическая геометрия (методичка).pdf
#
01.05.2025742 Кб4Английская фонетика (Обучение).doc
#
01.07.2025127 Кб1Английский..doc
#
21.03.2015123 Кб11Анкета студента, 03.2012.doc
#
21.03.2015331 Кб19Анкета студента, 04.2013.doc
#
01.04.2025288 Кб3Антиангиальные средства.doc