ВМ_LABS / ЛР4_ЧР ОДУ(p)

где hi = xi+1 − xi . При этом искомая интегральная кривая y(x), проходящая через точку (x0, y0 ), заменяется ломаной с вершинами в точках (xi,yi ). Каждое звено ломаной имеет направление, совпадающее с направлением интегральной кривой (2.1), которая проходит через точку (xi,yi ). Поэтому метод Эйлера часто называют методом ломаных.

Вычисление приближений yn искомого решения y(x) по формуле (2.2) представляет собой обыкновенный метод Эйлера. Этот метод даёт весьма грубое приближёние решения задачи Коши. Он обычно используется в случае, когда необходимо получить примерное представление о решении на небольшом промежутке.

Если функция f(x,y) непрерывна и ограничена вместе со свои-

ми первыми производными, т.е.

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага, вообще говоря, систематически возрастает. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае способ двойного счёта – с шагом h и с шагом h / 2. Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах даёт естественные основания считать их верными.

3. Метод Рунге-Кутта.

Рассмотрим задачу Коши на отрезке [x0, X] для дифференциального уравнения (1.1) с начальным условием (1.2). Будем искать значения приближённого решения этой задачи лишь в фиксированных точках xi (i = 1,...,N) данного отрезка. Выбранные узловые

точки будем считать равноотстоящими:

3

Метод Рунге-Кутта – одношаговый метод решения поставленной задачи, т.е. такой метод , который позволяет найти приближённое

значение решения заданной задачи в узле xi+1 по информации об этом решении лишь в одной предыдущей узловой точке xi .

Рассмотрим метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности, который является одним из самых распространённых методов решения задач с начальными условиями для ОДУ. Итак, пусть дано дифферен-

циальное уравнение (1.1) и условие yk = y(xk ), которое либо является начальным условием (при k = 0), либо получено как результат предыдущего шага. Для получения следующего значения yk+1 вначале вычисляются четыре числа:

r0 = hf(xk , yk ),

r1 = hf(xk + h 2, yk + r0 2),

(4.1)

r2 = hf(xk + h2, yk + r1 2), r3 = hf(xk + h, yk + r2 )

(здесь h – шаг интегрирования). Вслед за этим вычисляется приращение по формуле:

yk = (r0 + 2r1 + 2r2 + r3 )6,

апотом вычисляется новое значение функции:

yk+1 = yk + yk .

Метод Рунге-Кутта – один из наиболее употребительных методов повышенной точности. Однако общий недостаток методов этого семейства – отсутствие простых способов оценки погрешности метода. Широко используемый на практике для этих методов способ контро-

ля точности – двойной счёт. Если y2h – вычисленное значение y(x)

с шагом 2h, а yh – соответствующее узловое значение, полученное с шагом h, то для ориентировочной оценки погрешности ε последнего значения yh можно использовать формулу:

y − y

ε ≈ 2h h .

15