- •Глава 1. Дискретная случайная величина
- •§1.Понятия случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •§2. Функция распределения
- •Свойства функции распределения:
- •§3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •§4. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины, закон Пуассона.
- •Задачи для самостоятельной работы.
- •Ответы:
- •Свойства функции распределения:
- •Свойства плотности распределения вероятностей:
- •Числовые характеристики
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 3. Некоторые законы распределения непрерывной случайных величин.
- •§1. Равномерный закон распределения
- •§2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •§3.Нормальный закон распределения
- •«Правило трех сигм»
- •Задачи для самостоятельной работы
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x)≥0,при хR
х
2) F(x)= ∫ f(x)dx
-∞
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.1)
b
3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx
a
Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)
-∞
4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки
+∞
рис.1 рис.2
Задача №1.Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:
0 при х≤2,
f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,
0 при х>6.
Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5)
Решение:
+∞
а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.
Следовательно, -∞
+∞ 2 6 +∞ 6 6
∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х2/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;
-∞ -∞ 2 6 2 2
8с=1;
с=1/8.
х
б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx
-∞
Поэтому, х
если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;
-∞ 2 2 х
если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х- (4/2-4))=
-∞ -∞ 2
=1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;
2 6 х 6 6
если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) =
-∞ 2 6 2 2
=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.
Таким образом,
0 при х≤2,
F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,
1 при х>6.
График функции F(х) изображен на рис.3
рис.3
в) Р(3≤Х<5)=F(5)-F(3)=(5-2)2/16-(3-2)2/16=9/16-1/16=5/16.
Задача №2. Случайная величина Х задана функцией распределения:
0 при х≤0,
F(х)= (3• arctg х)/π при 0<х≤√3,
1 при х>√3.
Найти дифференциальную функцию распределения f(х)
Решение: Т.к. f(х)= F’(x), то
0 при х≤0,
f(х)= (3•(1+х2)) /π при 0<х≤√3,
0 при х>√3.