- •Глава 1. Дискретная случайная величина
- •§1.Понятия случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •§2. Функция распределения
- •Свойства функции распределения:
- •§3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •§4. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины, закон Пуассона.
- •Задачи для самостоятельной работы.
- •Ответы:
- •Свойства функции распределения:
- •Свойства плотности распределения вероятностей:
- •Числовые характеристики
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 3. Некоторые законы распределения непрерывной случайных величин.
- •§1. Равномерный закон распределения
- •§2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •§3.Нормальный закон распределения
- •«Правило трех сигм»
- •Задачи для самостоятельной работы
§4. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины, закон Пуассона.
Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
Р(Х=m)=Сmnpmqn-m
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:
M(X)=np,
D(X)=npq,
Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:
Р(Х=m)=Рn(m)= e-λ • λm , где λ=np
m !
Тогда говорят, что случайная величина Х - распределена по закону Пуассона.
Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.
Задача№3. Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), σ(Х) этой величины.
Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.
Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где
- «выпадения не пятерки».
Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.
Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:
Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1•(1/6)0•(5/6)3=125/216;
Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3•(1/6)1•(5/6)2=75/216;
Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3•(1/6)2•(5/6)1=15/216;
Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1•(1/6)3•(5/6)0=1/216.
Т.о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
р |
125/216 |
75/216 |
15/216 |
1/216 |
Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
M(X)=np=3•(1/6)=1/2,
D(X)=npq=3•(1/6) •(5/6)=5/12,
Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:
а) 5 бракованных;
б) хотя бы одна бракованная.
Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:
Рn(m)= e-λ • λm
m !
Найдем λ=np=1000•0,002=2.
а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):
Р1000(5)= e-2 • 25 = 32•0,13534 = 0,0361
5 ! 120
б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.
Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р().Отсюда искомая вероятность равна:Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 • 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.
0 !