Лабораторная работа 2.

Тема: Задача линейного программирования. Симплексный метод решения.

Цель: Приобрести навыки решения задачи линейного программирования симплексным методом. Осуществить проверку решения задачи средствами Microsoft Excel (Solver). Анализ отчетов по результатам, по пределам, по устойчивости задачи линейного программирования.

Заданине лабораторной работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями.

2. Построить математическую модель задачи.

3. Выполнить решение задачи симплексным методом (методом искусственного базиса) так, как это рассматривалось на лекции.

4. Проверить правильность решения задачи с помощью MS Excel.

5. Отобразить отчеты по результатам, по пределам, по устойчивости.

6. Предоставить письменно ответы на контрольные вопросы.

Задача 1 . Для изготовления столов и шкафов применяется три вида сырья. Затраты дерева для каждого изделия приведены в таблице.

Изделие	Вид дерева
	1	2	3
Стол, г. куб.	0,2	0,2	0,25
Шкаф, г.куб.	0,3	0,25	0,25
Запасы дерева, г.куб.	60	50	40

Прибыль от реализации одного стола составляет 30 грн., а шкафа 42 грн. Найти максимальную прибыль от продажи.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение начального опорного плана.

2. Опишите алгоритм переход от одного опорного плана к другому.

3. Сформулировать критерий оптимальности решения задачи линейного программирования.

4. Этапы решения задачи линейного программирования симплексным методом.

5. Метод искусственного базиса.

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

1. Записать в тетради условия задач.

2. Построить математическую модель.

3. Решить задачу симплексным методом.

4. Выполнить проверку в Excel, вывести три отчета (по результатам, по устойчивости, по пределам.

5. Результаты продемонстрировать преподавателю.

6. Предоставить ответы на контрольные вопросы.

Тема 3: теория двойственности

Аннотация

Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач линейного программирования Правила построения двойственных задач. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание. Примеры применения теории двойственности для нахождения оптимальных планов прямой и двойственной задач.

3.1. Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач линейного программирования

Каждая задача линейного программирования связана с другой, так называемой двойственной задачей.

Прямая задача:

(3.1)

при условиях:

(3.2)

. (3.3)

Необходимо определить, какое количество продукции каждого j-го вида необходимо изготовлять в процессе производства, чтобы максимизировать общую выручку от реализации продукции предприятия. Причем известны: имеющиеся объемы ресурсов –; нормы затратi-го вида ресурса на производство единицы j-го вида продукции – , а также– цены реализации единицы j-ой продукции.

Рассмотрим теперь эту самую задачу с другой точки зрения. Допустим, что при определенных условиях целесообразно продавать некоторую часть или все имеющиеся ресурсы. Необходимо определить цены ресурсов. Каждому ресурсу поставим в соответствие его оценкуУсловно будем считать, что– цена единицыi-го ресурса.

На изготовление единицы j-го вида продукции тратится согласно модели (3.1)—(3.3) m видов ресурсов в количестве соответственно . Поскольку цена единицыi-го вида ресурса равняется , то общая стоимость ресурсов, которые тратятся на производство единицыj-го вида продукции, исчисляется таким образом:

.

Продавать ресурсы целесообразно лишь при условии, что выручка, полученная от продажи ресурсов, превышает сумму, которую можно было бы получить от реализации продукции, изготовленной из тех самых объемов ресурсов, т.е.:

.

Понятно, что покупатели ресурсов стремятся совершить сделку как можно дешевле, итак, необходимо определить минимальные цены единиц каждого вида ресурсов, при которых их продажа является более целесообразной, чем изготовление продукции. Общую стоимость ресурсов можно выразить формулой:

.

Итак, в результате имеем двойственную задачу:

(3.4)

при условиях:

(3.5)

(3.6)

Т.е. необходимо определить, какие минимальные цены можно установить для единицы каждого i-го вида ресурса , чтобы продажа ресурсов была более целесообразной, чем производство продукции.

Заметим, что содержание величин – условные цены, которые выражают уровень «ценности» соответствующего ресурса для данного производства. Английский термин«shadow prices» в литературе переводится как «оценка» или «теневая, неявная цена». Академик Л.В.Канторович назвал ихобъективно обусловленными оценками соответствующего ресурса.

Задача (3.4)-(3.6) есть двойственной или сопряженной к задаче (3.1)-(3.3), которую называют прямой (основной, начальной). Понятие двойственности есть взаимным. По сути речь идет об одной и той же задаче, но с разных точек зрения. Действительно, не тяжело убедиться, что двойственная задача к (3.4)-(3.6) совпадает с начальной. Поэтому каждую из них можно считать прямой, а другую – двойственной. Симметричность двух таких задач очевидная. Как в прямой, так и в двойственной задаче используют один набор начальных данных: ,;. Кроме того, вектор ограничений начальной задачи становится вектором коэффициентов целевой функции двойственной задачи и наоборот, а строки матрицыА (матрицы коэффициентов при переменных из ограничений прямой задачи) становятся столбцами матрицы коэффициентов при переменных в ограничениях двойственной задачи. Каждому ограничению начальной задачи отвечает переменная двойственной и наоборот.

Начальная постановка задачи и математическая модель может иметь вид как (3.1)-(3.3), так и (3.4)-(3.6). Итак, как правило, говорят о паре сопряженных задач линейного программирования.