Лабораторная работа 3

Тема: Теория двойственности и анализ линейных моделей оптимизационных задач. Решение с помощью симплексного метода (М-метода) и Excel прямой и двойственной задачи.

Цель: Приобрести навыки для построения математических моделей сопряженных задач, внесение моделей в лист Excel, использование матричных функций для расчета транспонированной матрицы, умножения матриц при составлении двойственной задачи. Научиться решать прямую и двойсивенноу задачу двумя способами: симплексным методом (М-методом) и с помощью Solver.

На предприятии производятся продукты четырех видов, для этого процесса используются ресурсы трех видов ( фонд заработной платы, средства производства, транспортные затраты). Ресурсы ограничены соответственно 20 у.е, 80 у.е, 200 у.е. Расходы ресурсов на производство продуктов представлены в таблице.

Ресурсы	Продукт1	Продукт2	Продукт3	Продукт4
фонд заработной платы	1	3	2	4
средства производства	10	4	5	2
транспортные затраты	5	8	4	10

Продукты продаются по цене 20 у.е, 40 у.е, 30 у.е, 10 у.е. соответственно. Организовать производство необходимо таким образом, чтобы прибыль была максимальной. Определить альтернативные цены на ресурсы, при которых выгоднее продать сырье, чем производить продукцию

Математическая модель задачи имеет вид:

Целевая функция:

Ограничения:

Задание1.

Организация рабочего листа имеет вид (рис3.1):

Рисунок 3.1

В окне Поиск решений вводим следующую информацию: Целевая ячейка F10 ($ означает абсолютную ссылку, для установки нажимается клавиша F4), Изменяя ячейки B10, С10, D10, E10 (B10:E10), ограничения добавляются нажатием кнопки Добавить при наличии курсора в поле Ограничения.

Рисунок 3.2

После нажатия кнопки Добавить в окне (рис.3.3) указать соответствующие ссылки.

Рисунок 3.3

Далее во вкладке Параметры устанавливаем следующие значения:

Рисунок 3.4

После закрытия окна Параметры нажатием кнопки Ок, нажимается кнопка Выполнить. Выбрать три вида отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы.

Рисунок 3.5

При правильном выполнении всех действий в результате должен получится следующий ответ.

Рисунок 3.6

Задание2. Далее правой кнопкой мыни нажать на наименовании Листа, выбрать Переместить/ Скопировать, установит флажок на Создать копии, указать В конце. На скопированном листе удалить формулы и ввести новые по образцу.

Рисунок 3.7

Поскольку функция МУМНОЖ и ТРАНСП работают с массивами, то для их ввода выделяют столько ячеек для результата, сколько ячеек занимает матрица ответа. Перед тем, как закрыть окно ввода таких функций необходим нажать клавишу F2, далее удерживая Ctrl+ Shift нажать Enter.

Окно ввода функции имеет вид (рис.3.8):

Рисунок 3.8

Далее запускается Поиск решений. В окне 3.9 вводятся следующие данные.

Рисунок 3.9

В результате правильного выполнения задания получается следующее:

Рисунок 3.10

Задание 3. Далее производим копирование последнего Листа и дорабатываем Лист, вводя в него двойственную задачу, которая получается транспонированием основной матрицы системы ограничений, столбца свободных коэффициентов, сроки коэффициентов целевой функции.

Исходная задача	Двойственная задача
Целевая функция:	(коэффициенты получены транспонированием столбца свободных коэффициентов)
Ограничения:	(столбец свободных коэффициентов получен транспонированием коэффициентов целевой функции, основная матрица новои системы получена транспонированием основной матрицы исходной задачи.)

Организация рабочего письма следующая:

Рисунок 3.11

В ячейки F14:F17 вводят формулу =МУМНОЖ(B14:D17;C19:C21), в ячейку D20 вводят формулу =МУМНОЖ(ТРАНСП(A14:A16);C19:C21). Затем запускают Поиск решений.

Рисунок 3.12

В результате правильного решения задачи выйдет следующий результат. В окне вывода результата выбрать три типа отчета.

Рисунок 3.13

Результат выполненной лабораторной работы сохранить в папке Мои документы, папке с названием группы, имя файла– фамилия студента + №3.

Самостоятельная работа

Выполнить решение прямой и двойственной задачи с помощью симплексного метода. Решить одну из задач и с помощью последней симплексной таблицы выписать решение другой, сопряженной задачи. С помощью надстройки Поиск решений (Solver) выполнить решение прямой и двойственной задачи в Excel.

Задача 2.

Задача о смесях

Фирма «Корм» имеет возможность покупать 4 разных вида зерна(компонентов смеси) и изготовливать различные виды кормов. Разные зерновые культуры содержат разное количество питательных ингредиентов. Сделанный комбикорм должен удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности. Нужно определить, которая из возможных смесей есть наиболее дешевой. Исходные данные приведены в таблице:

	Единица веса					Минимальные нужды на планированный период
	зерна 1	зерна 2	зерна 3	зерна 4
Ингредиент A	2	3	7	1	1250
Ингредиент B	1	0,7	0	2,3	450
Ингредиент C	5	2	0,2	1	900
Ингредиент D	0,6	0,7	0,5	1	350
Ингредиент E	1,2	0,8	0,3	0	600
Затраты рассчитывая на од. весы (цена)	41	35	48	42	Минимизировать

Математические модели исходной и двойственной задачи записать в тетрадь. Предоставить экономическую интерпретацию.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач линейного программирования

2. Правила построения двойственных задач

3. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

1. Записать в тетради условия задач.

2. Построить математическую модель прямой и двойственной залачи.

3. Решить симплексным методом одну из задач.

4. Выполнить решение в Excel обеих задач

5. Результаты продемонстрировать преподавателю.

6. Предоставить ответы на контрольные вопросы.