АиГ / Тема 4

Курс “Алгебра и Геометрия”

(спец. прикладная математика, информатика, 1 курс, 1 семестр)

Тема 4. Скалярное произведение. – 2 часа.

Содержание: проекция точки на ось, свойства проекций, скалярное произведение, его свойства, применение скалярного произведения.

Цель: выработать навыки вычисления скалярного произведения и его применения при решении геометрических задач.

Форма контроля: опрос.

Задачи

Задача 1 ([9], 1030). Проверить, справедливы ли следующие равенства для любых векторов и :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

Задача 2 ([9], 1031). Проверить справедливость тождества для векторов , и дать его геометрическое толкование.

Задача 3 ([9], 1032). Можно ли говорить о скалярном произведении трех векторов? О скалярном кубе вектора? О кубе скаляра век­тора?

Задача 4 ([9], 1033). Выяснить, почему тождество , справедливое для скаляров, не имеет места для векторов.

Задача 5 ([9], 1034). Вычислить скалярное произведение , если и , где и — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Задача 6 ([9], 1035). Найти числовое значение скаляра , если , и угол между векторами и равен .

Задача 7 ([9], 1036). Упростить выражение , если , , , где ,  и угол между векторами и равен .

Задача 8 ([9], 1038). Вычислить скалярное произведение двух векторов , зная их разложение по трем единичным взаимно перпенди­кулярным векторам , и : , .

Задача 9 ([9], 1039). Доказать, что скалярное произведение двух век­торов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, перпендикулярный другому сомножителю.

Задача 10 ([9], 1040). Найти длину вектора , зная, что и ― взаимно перпендикулярные орты.

Задача 11 ([9], 1041). Вычислить длину вектора , если , и — данные взаимно перпендикулярные векторы.

Задача 12 ([9], 1042). Зная, что векторы , и образуют треугольник, т. е. , вычислить длину стороны , считая и известными.

Задача 13 ([9], 1043). Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если известно, что , и угол между векторами и равен .

Задача 14 ([9], 1044). К одной и той же точке приложены две силы и , действующие под углом 120°, причем и . Найти величину равнодействующей силы .

Задача 15 ([9], 1045). Найти равнодействующую пяти компланарных сил, равных по величине и приложенных к одной и той же точке, зная, что углы между каждыми двумя последовательными силами равны 72°.

Задача 16 ([9], 1046). Вычислить угол между векторами и , где и — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Задача 17 ([9], 1047). В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.

Задача 18 ([9], 1048). Зная векторы, образующие треугольник: , и , где и — взаимно перпендикулярные орты, определить углы этого треугольника.

Задача 19 ([9], 1093). Найти вектор , одновременно удовлетворяющий трем уравнениям: , и .

Задача 20 ([9], 1107). Найти проекцию вектора на ось абсцисс и компоненту этого же вектора по оси ординат, если , и .

Задача 21 ([9], 1108). Вычислить скалярное произведение векторов и , где , .

Задача 22 ([9], 1109). Найти длину и направление вектора , зная что , и .

Задача 23 ([8], 812). Даны векторы , . Вычислить:

1) ; 2); 3); 4); 5); 6).

Задача 24 ([8], 819). Вычислить косинус угла, образованного векторами , .

Задача 25 ([8], 820). Даны вершины треугольника: , , . Определить его внутренний угол при вершине .

Задача 26 ([8], 821). Даны вершины треугольника: , , . Определить его внешний угол при вершине A.

Задача 27 ([8], 823). Вектор коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Зная, что , найти его координаты.

Задача 28 ([8], 824). Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Задача 29 ([8], 825). Вектор , перпендикулярен к векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Найти его координаты, зная, что .

Задача 30 ([8], 826). Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторам и , и удовлетворяет условию .

Задача 31 ([8], 827). Даны векторы и найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условию , .

Задача 32 ([8], 828). Даны векторы , и . Найти вектор , удовлетворяющий условию: , , .

Задача 33 ([8], 829). Найти проекцию вектора на ось состоящую с координатными осями Ох, Oz равные острые углы.

Задача 34 ([8], 830). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы , , а с осью Oy — острый угол .

Задача 35 ([8], 834). Даны векторы , и . Вычислить .

Задача 36 ([8], 835). Даны векторы , и . Вычислить .

Задача 37 ([8], 836). Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

Задача 38 ([8], 837). Даны точки и . Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

Задача 39 ([8], 838). Даны точки , , , . Вычислить .

Тема 4. Скалярное произведение.

Ответы

Задача 1. 1) Несправедливо: произведение вектора на скаляр не может равняться скаляру, а представляет вектор, коллинеарный вектору ;

2) справедливо – на основании правила умножения скаляров;

3) несправедливо (см. случай 1);

4) несправедливо, если и неколлинеарны;

5) справедливо;

6) и 7) справедливы на основании свойства переместительности и распределительности скалярного умножения;

8) справедливо только для коллинеарных векторов.

Задача 2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Задача 3. Скалярное произведение трех векторов быть не может, так как скалярное произведение двух векторов есть скаляр, помножив который на третий вектор, получим вектор, коллинеарный этому последнему; поэтому и скалярный куб рассматривать нет смысла.

Задача 5. .

Решение. , так как по условию и .

Задача 6. .

Задача 7.

Задача 8. .

Задача 10. .

Решение. .

Задача 11.

Задача 12. Примечание. Угол между векторами и есть внешний угол треугольника, смежный с ним внутренний угол обозначен С.

Задача 13..

Задача 14. .

Задача 15. Равнодействующая сила равна нулю.

Задача 16. Угол между векторами и равен π / 4.

Решение.

Задача 17. . Указание. Выразить предварительно медианы через катеты.

Задача 18. ; и .

Задача 19. .

Задача 20. ; .

Задача 21. .

Задача 22. ; ; ; .

Задача 23. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Задача 24. .

Задача 25..

Задача 26. .

Задача 27. .

Задача 28. .

Задача 29. .

Задача 30. .

Задача 31. .

Задача 32. .

Задача 33..

Задача 34. .

Задача 35. .

Задача 36. .

Задача 37. ; ;.

Задача 38. .

Задача 39. .