3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

Теорема.Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.

Теорема. Пустьf- непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространствоY, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображениеfклеточное. Тогда существует такое клеточное отображениеg:XY, чтоg│_A=f│_Aи, более того,f~grelA.

Поясним запись f~grelA(читается:fгомотопноgотносительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображенияf,g: XYсовпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопияh: ХY, соединяющаяfсgи неподвижная на А, т.е. такая, чтоh_t(а) не зависит отtпри аА. Конечно, изf~grelА следует, чтоf~g, но не наоборот. Пример:f,g:IS,f- "наворачивание" отрезка на окружность,g- отображение в точку; эти отображения гомотопны , но не гомотопныrel(01).

Доказательство теоремы.Предположим, что отображениеfуже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку е^рX - А. Ее образf(e^p) пересекается лишь с конечным числом клеток пространстваY(это следует из компактностиf(^p)). Выберем среди этих клеток пространстваYклетку наибольшей размерности, скажем,,dim=q. Еслиq≤ р, то нам с клеткой е^р делать нечего. В случае жеq>р нам потребуется следующая лемма.

Лемма о свободной точке.ПустьU- открытое подмножество пространстваR^pи:UIntD^q- такое непрерывное отображение, что множество V =(d^q)U, гдеd^q- некоторый замкнутый шарик вIntD, компактно. Еслиq> р, то существует непрерывное отображение:UIntD^q, совпадающее с вне

V и такое, что его образ не покрывает всего шара d^q.

Доказательствоэтой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображениеавтоматически будет гомотопнымотносительноU- V: достаточно взять связывающуюс"прямолинейную" гомотопию, при которой точка(u) равномерно движется к(u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему(u) с(u).

Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│гомотопноrel(AX) отображениюf':AXе^рY, такому, чтоf' (e^p) задевает те же клетки, что иf(e^р), но заведомоf' (e^p) не содержит всю клетку. В самом деле, пустьh:D^pХ,k:D^pY- характеристические отображения, соответствующие клеткам е^р,. ПоложимU=h (f()е^р) и определим отображение:UIntD^qкак композицию.

Обозначим через d^q(замкнутый) концентрический подшар шараD^q. Множество V= (d^q) компактно (как замкнутое подмножество шараD^p). Пусть:UIntD^q- отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Ясно, что отображениеf' непрерывно (оно совпадает сfна "буферном множестве"h(U- V)) и гомотопноf│rel(AX), и дажеrel(AX(e-h(V)))) (это вытекает из гомотопности~rel(U- V)). Ясно также, чтоf' (e^p) не покрываетe^q.

Дальнейшее рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на AХгомотопию междуf│иf' мы можем распространить, по теореме Борсука, на все X, и это позволяет считать, что отображение f ', обладающее всеми вышеперечисленными свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у₀, не принадлежащуюf' (е^р), и подвергаемf'│"радиальной гомотопии": если точкаxe^pне принадлежитf' (),Tof' (x) стоит на месте, а еслиf' (x), тоf' (x) движется по отрезку, идущему из точки у₀на границу клетки(точнее говоря, поk-образу прямолинейного отрезка, начинающегося в точкеk(у₀) проходящего через точкуk(f' (x))k(у₀) и кончающегося на граничной сфереSшараD^q). Эту гомотопию мы продолжаем до гомотопии отображенияf'│(неподвижной вне е^р) и - по теореме Борсука - до гомотопии всего отображенияF': ХY. Получающееся отображениеF'' гомотопноF(AХ) и обладает тем свойством, чтоf'' (e^p) задеваетq-мерных клеток на одну меньше, чемf(е^р) (и, как иf(e^p), не задевает клеток размерности >q). Применив эту процедуру нужное число раз, мы прогомотопируем отображениеfк отображению, клеточному наAХe^p, причем гомотопия будет неподвижной наAХ.

Теперь заметим, что "исправление" отображения f, которое мы проделали для клетки е^р, можно дословно так же проделать одновременно для всех р-мерных клеток из X - А. Тогда мы придем к отображению, клеточному наAХ^ри гомотопномуfrel(AХ).

Неподвижную на А гомотопию, связывающую отображение fс клеточным отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии при р = 0, 1,2,... Правда, число этих гомотопии может быть бесконечно, но это не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 - 2≤t≤ 1 - 2. Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторогоt_e< 1. Теорема доказана.