1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета на клетки,и () -делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности, то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).

Рис.1

2. Из (W) не следует (С). Разбиение дискаD² на внутренностьIntD²и отдельные точки граничной окружностиудовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегдаFIntD²=F), но не удовлетворяет аксиоме (С).

3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство│α=1,2,…копий отрезкаI, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками,равно, если, и равно, если. Разбиение построенного пространства на множестваи оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точкисоставляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.

Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется "клеточным ослаблением топологии".

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

При конечном nимеется два канонических клеточных разбиения сферы. Первое состоит из двух клеток: точки(любой, скажем, (1,0,... ..., 0)) и множества(рис.2а). Характеристическое отображение, отвечающее второй клетке, - это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле, где(рис.3).

Рис.2

Рис.3

Другое каноническое клеточное разбиение сферы состоит из 2n+2 клеток: клеткасостоит из точек, у которыхи(рис.2б). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.

Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы получаются из единственного возможного разбиения сферы(двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае - обыкновенную надстройку.

Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы : ее можно разбить на 3ⁿ⁺¹- 1 клеток как границу (n+1) - мерного куба, наклеток - как границу (n+1) - мерного симплекса и т.п. .

Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы .

Клеточное разбиение шара можно получить из любого клеточного разбиения сферыпутем присоединения одной клеткиIntс характеристическим отображениемid:. Наиболее экономное клеточное разбиение шарасостоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара.

2.2 Проективные пространства

При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы клетки- клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (n+1) - клеточное разбиение пространстваR, по одной клеткев каждой размерностиq≤n. Это же разбиение можно описать так:

R│.

Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений

RRRR,

и мы полагаем e^q=R-R. Характеристическим отображением дляe^qслужит композиция канонической проекцииD^qRи включенияRR. Приn=наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространстваR, содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства Сна клетки размерностей 0, 2, 4,..., 2n; разбиение пространстваHна клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4n; разбиение пространства СаР²на клетки размерностей 0,8,16; клеточные разбиения пространств СиH, содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство

Сразбивается на клетки С│

с характеристическими отображениями

CС.