7. Аксиомы отделимости

Содержание: Отделимость точек и множеств в топологических пространствах. Простейшие свойства пространств, удовлетворяющих основным аксиомам отделимости.

Необходимо научиться доказывать выполнение основных аксиом отделимости и использовать свойства пространств, удовлетворяющих аксиомам отделимости, при решении задач.

Основные определения

T₀-пространством называется пространство, для любых двух различных точек которого хотя бы у одной из этих точек найдется окрестность, не содержащая другую точку.

T₁-пространством называется пространство, для любых двух различных точек которого у каждой из этих точек найдется окрестность, не содержащая другую точку.

T₂-пространством (или хаусдорфовым пространством) называется пространство, любые две различные точки которого имеют непересекающиеся окрестности.

T₃-пространством (или регулярным пространством ) называется T₁-пространство, в котором любое замкнутое подмножество и любая точка, не принадлежащая этому подмножеству, имеют непересекающиеся окрестности.

T₄-пространством (или нормальным пространством) называется T₁-пространство, любые два замкнутых непересекающихся подмножества которого имеются непересекающиеся окрестности.

Задания

1. Проверьте, что для каждого свойство пространства «быть-пространством» является топологическим свойством.

2. Привести пример T₀-пространства, которое не является T₁-пространством.

3. Доказать, что каждое из следующих условий эквивалентно тому, что X – T₁-пространство.

а) каждое одноточечное множество пространства X замкнуто;

б) каждое конечное подмножество пространства X замкнуто;

в) каждое подмножество пространства X является пересечением некоторого семейства открытых множеств.

4. Пусть X и Y – T₁-пространства, − гомеоморфизм,Z – конечное подмножество пространства X. Доказать, что f гомеоморфно отображает на.

5. Доказать, что в T₁-пространстве точка, имеющая базу, состоящую из конечного числа множеств, является изолированной.

6. Доказать, что любое подпространство T₁-пространства является T₁-пространством.

7. Пусть X – T₁-пространство, . Доказать:

а) если x − предельная точка множества A, U − окрестность точки x, то бесконечно;

б) множество всех предельных точек подмножества A замкнуто.

8. Существует ли T₁-пространство, которое не является T₂-пространством.

9. Доказать, что каждая последовательность точек T₂-пространства имеет не более одного предела.

10. Пусть X − T₂-пространство, в котором любое подмножество либо открыто, либо замкнуто. Доказать:

а) если x − предельная точка пространства X, то его подпространство дискретно;

б) в X не может быть более одной предельной точки;

11. Доказать, что любое подпространство T₂-пространства является T₂-пространством.

12. Доказать, что T₁-пространство, имеющее единственную неизолированную точку, нормально.

13. Пусть X − T₂-пространство, в котором множество неизолированных точек конечно. Доказать, что X нормально.

14. Пусть – предбазаT₁-пространства X. Доказать, что X регулярно тогда и только тогда, когда для каждого и каждой точки, найдется содержащаяся вU замкнутая окрестность точки x.

15. Доказать, что подпространство регулярного пространства регулярно.

16. Доказать, что T₁-пространство нормально тогда и только тогда, когда для каждого его замкнутого подмножества H и каждой окрестности U этого подмножества найдется окрестность подмножества H, замыкание которой содержится в U.

17. Доказать, что замкнутое подпространство нормального пространства нормально.

18. Даны следующие семейства подмножеств числовой прямой R:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. ,

где .

16. ,

где .

А) Какие из этих семейств являются базами T₂-топологий на множестве R?

Б) Какие из этих семейств являются базами топологий на множестве R, относительно которых R − нормальное пространство?

19. Какие из следующих утверждений справедливы?

1. Всякое конечное подмножество T₂-пространства замкнуто.

2. Каждая последовательность точек T₂-пространства имеет не более одного предела.

3. Всякое счетное пространство удовлетворяет T₂-аксиоме отделимости.

4. Всякое счетное T₂-пространство регулярно.

5. Пространство, имеющее базу, состоящую из множеств, одновременно открытых и замкнутых, регулярно.

6. Всякое пространство со счетной базой регулярно.

7. Всякое подпространство метризуемого пространства нормально.

8. Если нормальное пространство сепарабельно, то оно имеет счетную базу.

9. Всякое счетное регулярное пространство нормально.

10. Пространство X нормально тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого его подмножества H любая окрестность этого подмножества содержит замкнутую окрестность подмножества H.

11. Если T₂-пространство имеет счетную базу, то оно нормально.

12. Всякое конечное подмножество нормального пространства замкнуто.

13. Всякое нормальное пространство метризуемо.

20*. Доказать:

1. Каждое метризуемое пространство нормально.

2. Каждое подпространство T₃-пространства, имеющего счетную базу, нормально.