6. База пространства. Подпространство

Содержание: База пространства в точке. База. Предбаза. Аксиомы счетности. Подпространство топологического пространства. Дискретная сумма пространств.

Необходимо научиться задавать и описывать топологию пространства с помощью базы, доказывать простейшие свойства пространств, связанные с аксиомами счетности, а также свойства подпространства и дискретной суммы.

Некоторые определения и теоремы

1^о. Пусть – топология пространстваX, . Семейство β называется базой пространства X в некоторой его точке a, если и для любой окрестности точки a существует такое , что. Семействоβ называется базой пространства X, или базой топологии , если для каждой точки a пространства X и для любой окрестности точки a существует такое , что. Семействоβ называется предбазой пространства X (или предбазой топологии ), если семейство пересечений всевозможных конечных подсемейств семейства β является базой пространства X. Аналогично определяется предбаза в точке пространства.

Теорема 1. Подмножество β топологии – база этой топологии тогда и только тогда, когда каждое множество, принадлежащее , является объединением некоторого семейства множеств, принадлежащих β. Всякая база пространства является его предбазой.

Теорема 2. Непустое семейство множеств β – база некоторой топологии тогда и только тогда, когда для каждого , каждогои каждой точкисуществует такое множество, что. Всякое непустое семейство множеств – предбаза некоторой топологии. При этом если топологиииимеют одну и ту же предбазу, то.

Пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если для каждой его точки x существует не более чем счетная база в точке x.

Пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если оно имеет (не более чем) счетную базу.

Пространство, содержащее счетное всюду плотное множество, называется сепарабельным пространством.

Теорема 3. Сепарабельное метризуемое пространство имеет счетную базу.

2^о. Пусть − топология на множестве X, , . Тогда− топология на множестве Y, называемая топологией подпространства (или индуцированной топологией). Пространство называютподпространством пространства . Всякое множество, лежащее в топологическом пространстве, если не оговорено противное, рассматриваем как подпространство этого пространства.

Гомеоморфизм пространства Z на подпространство пространства X называется вложением пространства Z в X.

3^о. Пусть – дизъюнктное семейство множеств,, и для каждогопусть– топология на множествеA. Тогда – база некоторой топологии на множествеX . Обозначим эту топологию через . Пространство называют дискретной суммой дизъюнктного семейства , а каждое пространство этого семейства –слагаемым дискретной суммы семейства. Для этой суммы используем обозначение .

Для каждого пространствоявляется подпространством пространства, причем A и открыто, и замкнуто в .

Вопросы для повторения

1. Какое семейство множеств называется базой топологии?

2. Какие семейства множеств являются базами топологий?

3. Что такое предбаза топологии?

4. Всякое ли счетное пространство сепарабельно?

5. Всякое ли пространство со счетной базой сепарабельно?

6. Какие множества открыты в подпространстве топологического пространства?

7. Может ли подпространство сепарабельного пространства не быть сепарабельным?

8. Какие множества открыты, какие замкнуты, а какие всюду плотны в дискретной сумме топологических пространств?